Второй признак равенства треугольников как доказать

Признаки равенства треугольников (доказательство всех)

1) по двум сторонам и углу между ними

Пусть у треугольников АВС и А1В1С1 угол A равен углу А1, АВ равно А1В1, АС равно А1С1. Докажем, что треугольники равны.

Наложим треугольник ABC (либо симметричный ему) на треугольник A1B1C1 так, чтобы угол A совместился с углом A1. Так как АВ=А1В1, а АС=А1С1, то B совпадёт с В1, а C совпадёт с С1. Значит, треугольник А1В1С1 совпадает с треугольником АВС, а следовательно, равен треугольнику АВС.

2) по стороне и прилежащим к ней углам

ПустьАВС и А1В1С1 – два треугольника, у которых АВ равно А1В1, угол А равен углу А1, и угол В равен углу В1. Докажем, что они равны.

Наложим треугольник ABC (либо симметричный ему) на треугольник A1B1C1 так, чтобы AB совпало с A1B1. Так как ∠ВАС =∠В1А1С1 и ∠АВС=∠А1В1С1, то луч АС совпадёт с А1С1, а ВС совпадёт с В1С1. Отсюда следует, что вершина C совпадёт с С1. Значит, треугольник А1В1С1 совпадает с треугольником АВС, а следовательно, равен треугольнику АВС.

3)по трём сторонам

Доказательство :

Приложим треугольник ABC (либо симметричный ему) к треугольнику A1B1C1 так, чтобы вершина А совместилась с вершиной A1, вершина В — с вершиной В1, а вершины С и С1, оказались по разные стороны от прямой А1В1. Рассмотрим 3 случая:

1) Луч С1С про­ходит внутри угла А1С1В1. Так как по условию теоремы стороны АС и A1C1, ВС и В1С1 равны, то треугольники A1C1C и В1С1С — равнобедренные. По теореме о свойстве углов равнобедренного треугольника ∠1 = ∠2, ∠3 = ∠4, поэтому ∠ACB=∠A1C1B1.

Итак, AC=A1C1, BC=B1C1, ∠C=∠C1. Следовательно, треугольники ABC и A1B1C1 равны по
первому признаку равенства треугольников.

Теорема доказана.

2. Деление отрезка на n равных частей.

Провести луч через A, отложить на нём n равных отрезков. Через B и An провести прямую и к ней параллельные через точки A1 – An-1. Отметим их точки пересечения с AB. Получим n отрезков, которые равны по теореме Фалеса.

Теорема Фалеса. Если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки.

2. ΔABB2=ΔCDD2 ABB2 CDD2 BAB2 DCD2 и равны на основании второго признака равенства треугольников:
AB = CD согласно условию теоремы,
как соответственные, образовавшиеся при пересечении параллельных BB1 и DD1 прямой BD.

3. Аналогично каждый из углов и оказывается равным углу с вершиной в точке пересечения секущих. AB2 = CD2 как соответственные элементы в равных треугольниках.

4. A1B1 = AB2 = CD2 = C1D1

Источник

Признаки равенства треугольника

Первый признак равенства треугольников

Конечно, равенство треугольников всегда можно доказать наложением одного треугольника на другой. Но, согласитесь, — это несерьезно. Какое может быть наложение, когда есть три теоремы и можно их доказать.

Давайте рассмотрим три признака равенства треугольников.

Читайте также:  Признак молина судебная медицина

Теорема 1. Равенство треугольников по двум сторонам и углу между ними.

Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Докажите равенство треугольников △ABC = △A1B1C1.

△A1B1C1 = △ABC, если при наложение вершина A1 совмещается с вершиной A, и сторона A1B1 совмещается со стороной AB, AC — со стороной A1C1,
A1B1 = AB, вершина B совпадает с вершиной B1
A1C1 = AC, поскольку ∠A = ∠A1, вершина C совпадает с вершиной C1.
B1C1 = BC,
△ABC = △A1B1C1.

Второй признак равенства треугольников

Теорема 2. Равенство треугольников по стороне и двум прилежащим к ней углам.

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Путем наложения △ABC на △A1B1C1, совмещаем вершину А с вершиной A1.
Тогда АС совмещается с A1C1, вершина C совпадает с C1, поскольку мы знаем, что АС = A1C1.

Третий признак равенства треугольников

Теорема 3. Равенство треугольников по трем сторонам.

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство 3 признака равенства треугольников:

Наложим △ABC на △A1B1C1, таким образом, чтобы вершина A совпала с вершиной A1, вершина B — с вершиной B1, вершина C — с вершиной C1.

Кроме трех основных теорем, запомните еще несколько свойств равенства треугольников.

Равны ли треугольники, можно определить не только по сторонам и углам, но и по высоте, медиане и биссектрисе.

Как видите, доказать равенство треугольников можно по множеству признаков и десятком способом. Три признака равенства треугольников — основные. Все остальные способы также стоит запомнить, ведь треугольник — только с виду простая фигура.

В онлайн-школе Skysmart ваш ребенок научится доказывать любые теоремы и справляться с даже самыми сложными задачками на контрольных. Вас ждут опытные преподаватели, удобная интерактивная платформа и даже онлайн-доска, на которой можно чертить фигуры вместе с учителем.

Записывайтесь на бесплатный вводный урок по математике и начните заниматься в удовольствие уже завтра!

Источник

Геометрия. 7 класс

Конспект урока

Второй и третий признаки равенства треугольников

Перечень рассматриваемых вопросов:

Теорема ‑ утверждение, справедливость которого устанавливается путём рассуждений в данной системе аксиом.

Второй признак равенства треугольников.

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Третий признак равенства треугольников.

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Теоретический материал для самостоятельного изучения.

Ранее мы узнали, как определить, являются ли треугольники равными. Для этого мы использовали способ наложения или первый признак равенства треугольников.

Сегодня мы рассмотрим ещё два признака равенства треугольников.

Второй признак равенства треугольников.

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Так как ∠А =А1, ∠C=∠C1, то AB наложится на луч A1B1, BC наложится на луч B1C1 (по аксиоме откладывания угла).

Третий признак равенства треугольников.

Докажем третий признак равенства треугольников.

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Итак, сегодня мы доказали второй и третий признаки равенства треугольников.

Рассмотрим ещё один случай доказательства третьего признака равенства треугольников.

Читайте также:  Признаки отравления пестицидами у человека

Разбор заданий тренировочного модуля.

№ 1. На рисунке изображены треугольники ABH и BHА1, ∠1 = ∠2, ∠АВH =∠А1ВH. Будут ли треугольники ABH и BHА1 равными?

По условию в треугольниках ABH и BHА1, ∠1 = ∠2, ∠АВH = ∠А1ВH, BH ‑ общая сторона.

Следовательно, ∆ABH = ∆BHА1 (по второму признаку равенства треугольников: если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.)

№ 2. Периметр треугольника AOR равен 21 см, периметр четырёхугольника AORF равен 22 см. При этом AO = RF, OR = AF. Найти AR.

Для решения задачи, нужно вспомнить формулу периметра треугольника и четырёхугольника.

Р∆ AOR = АО + OR + AR = 21 см

РAORF = АО + OR + RF + AF = 22 см

По условию AO = RF, OR = AF, AR ‑ общая сторона →∆AOR = ∆ARF (по 3 признаку равенства треугольников: если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны).

РAORF = АО + OR + АО + OR = 2 · АО + 2 · OR = 22 см;

Источник

Второй признак равенства треугольников

Билет № 1

Первый признак равенства треугольников.

Первый признак равенства треугольника по двум сторонам и углу между ними формулируется в виде:

Теорема. Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Рассмотрим ΔABC и ΔA1B1C1, у которых AB=A1B1, AC=A1C1, А= А1. Докажем, что ΔABC=ΔA1B1C1. Так как A= A1 то треугольник ABC можно наложить на треугольник А1В1С1 так, что вершина А совместится с вершиной A1 а стороны АВ и АС наложатся соответственно на лучи А1В1 и А1С1. Поскольку АВ=A1B1, AC=A1C1 то сторона АВ совместится со стороной A1B1 а сторона АС — со стороной A1C1 в частности, совместятся точки В и В1 С и С1. Следовательно, совместятся стороны ВС и В1С1. Итак, треугольники ABC и A1B1C1 полностью совместятся, значит, они равны. Теорема доказана.

Запись на доске:

Дано: ΔABC, ΔA1B1C1, AB=A1B1, AC=A1C1, А= А1.

Доказательство. A= A1 ═> ΔABC можно наложить на ΔА1В1С1 так, что А→A1 а АВ и АС наложатся на лучи А1В1 и А1С1.

Параллелограмм. Определение, свойства, признаки.

Определение. Параллелограммом называется четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

Четырехугольник ABCD имеет стороны AB║DC, а сторона BC║AD. Следовательно ABCD –параллелограмм. АС и ВD – диагонали параллелограмма.

1) В параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны (AB=DC, BC=AD, ÐA=ÐC, ÐB=ÐD).

2) Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам (BF=FD, AF=FC).

3) сумма углов, прилежащих к одной стороне равна 180 0 (ÐA+ÐВ= ÐС+ÐD=ÐВ+ÐC=ÐА+ÐD=180 0 )

1) Если в четырёхугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырёхугольник – параллелограмм.

2) Если в четырёхугольнике противоположные стороны равны, то этот четырёхугольник – параллелограмм.

3) Если в четырёхугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то он параллелограмм.

1) AB=DC, BC=AD, ÐA=ÐC, ÐB=ÐD.

2) BF=FD, AF=FC.

3) ÐA+ÐВ= ÐС+ÐD=ÐВ+ÐC=ÐА+ÐD=180 0 )

Задача.

Билет № 2

Второй признак равенства треугольников.

Второй признак равенства треугольника по стороне и двум прилежащим к ней углам формулируется в виде теоремы.

Теорема: Если сторона и два прилежащие к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника то такие треугольники равны.

Читайте также:  Морфологические признаки животного это

Доказательство:РассмотримΔABC и ΔA1B1C1, у которых AB=A1B1, А= А1, ÐB=ÐB1. Докажем, что ΔABC=ΔA1B1C1. Наложим треугольник ABC на треугольник A1B1C1 так, чтобы вершина A совместилась с вершиной A1, сторона AB – со стороной A1B1, а вершины C и C1 оказались по одну сторону со стороны A1B1. Поскольку ÐA=ÐA1, ÐB=ÐB1, то сторона AC наложится на сторону A1C1, а сторона BC – на B1C1. Вершина C общая точка сторон AC и BC окажется как на стороне A1C1 так и на стороне B1C1, т.е. совместится с общей точкой этих сторон C1. Значит стороны AC и A1C1, BC и B1C1 совместятся, следовательно, и совместятся треугольники ABC и A1B1C1. Отсюда следует, что они равны: ∆ABC=∆A1B1C1

Дано: ΔABC, ΔA1B1C1, AB=A1B1, А= А1, ÐB=ÐB1.

Доказательство:Наложим ΔABC на ΔA1B1C1 так, чтобы A → A1, AB → A1B1, а вершины C и C1 оказались по одну сторону со стороны A1B1.

C AC, C BC ═> C A1C1, C B1C1, ═> С→C1.

Источник

Признаки равенства треугольников

Два треугольника считаются равными, если их можно совместить наложением. Но, чтобы не выполнять каждый раз наложение, для доказательства равенства треугольников, установили три признака, по которым можно определить, совместятся треугольники или нет. Эти признаки называются признаками равенства треугольников.

Первый признак равенства треугольников

Теорема:

Два треугольника равны, если у них равны две стороны и угол, лежащий между этими сторонами.

Рассмотрим два треугольника ABC и A1B1C1, у которых:

Требуется доказать, что

ABC = A1B1C1.

Если наложить A1B1C1 на ABC так, чтобы точка A1 совместилась с точкой A и сторона A1B1 совместилась со стороной AB, то точка B совместится с точкой B1, так как A1B1 = AB. Сторона A1C1 совместится со стороной AC, так как ∠A = ∠A1. Точка C1 совпадёт с точкой C, так как A1C1 = AC. Стороны B1C1 и BC совместятся, так как совместились их концы. Таким образом, треугольники совместятся. Теорема доказана.

Второй признак равенства треугольников

Теорема:

Два треугольника равны, если у них равна одна из сторон и два прилежащих к ней угла.

Рассмотрим два треугольника ABC и A1B1C1, у которых:

Требуется доказать, что

ABC = A1B1C1.

Если наложить A1B1C1 на ABC так, чтобы точка A1 совместилась с точкой A и сторона A1C1 совместилась со стороной AC, то точка C1 совпадёт с точкой C, так как A1C1 = AC. Сторона A1B1 совпадёт со стороной AB, так как ∠A = ∠A1. Сторона C1B1 совпадёт со стороной CB, так как ∠C = ∠C1. Вершина B1 совпадёт с вершиной B, так как B и B1 будут служить точками пересечения одних и тех же отрезков. Таким образом, треугольники совместятся. Теорема доказана.

Третий признак равенства треугольников

Теорема:

Два треугольника равны, если три стороны одного треугольника равны трём сторонам другого.

Рассмотрим два треугольника ABC и A1B1C1, у которых:

Требуется доказать, что

ABC = A1B1C1.

Приложим треугольники ABC и A1B1C1 один к другому так, чтобы вершина A совместилась с A1, вершина C — с C1, а вершины B и B1 оказались по разные стороны от прямой AC.

Соединив точки B и B1, получим два равнобедренных треугольника BAB1 и BСB1.

В треугольнике BAB1 1 = 4, в BСB1 2 = 3 (как углы при основании). Следовательно,

Из этого следует, что треугольники ABC и A1B1C1 равны по первому признаку равенства треугольников. Теорема доказана.

Признаки равенства прямоугольных треугольников

Для прямоугольных треугольников, кроме перечисленных трёх признаков равенства, имеются ещё дополнительные признаки, так как у них у всех есть прямой угол, а все прямые углы равны между собой.

Два прямоугольных треугольника будут равны в следующих четырёх случаях:

Источник

Adblock
detector