Все три признака равенства треугольников

Признаки равенства треугольников

Два треугольника считаются равными, если их можно совместить наложением. Но, чтобы не выполнять каждый раз наложение, для доказательства равенства треугольников, установили три признака, по которым можно определить, совместятся треугольники или нет. Эти признаки называются признаками равенства треугольников.

Первый признак равенства треугольников

Теорема:

Два треугольника равны, если у них равны две стороны и угол, лежащий между этими сторонами.

Рассмотрим два треугольника ABC и A₁B₁C₁, у которых:

Требуется доказать, что

ABC = A₁B₁C₁.

Если наложить A₁B₁C₁ на ABC так, чтобы точка A₁ совместилась с точкой A и сторона A₁B₁ совместилась со стороной AB, то точка B совместится с точкой B₁, так как A₁B₁ = AB. Сторона A₁C₁ совместится со стороной AC, так как ∠A = ∠A₁. Точка C₁ совпадёт с точкой C, так как A₁C₁ = AC. Стороны B₁C₁ и BC совместятся, так как совместились их концы. Таким образом, треугольники совместятся. Теорема доказана.

Второй признак равенства треугольников

Теорема:

Два треугольника равны, если у них равна одна из сторон и два прилежащих к ней угла.

Рассмотрим два треугольника ABC и A₁B₁C₁, у которых:

Требуется доказать, что

ABC = A₁B₁C₁.

Если наложить A₁B₁C₁ на ABC так, чтобы точка A₁ совместилась с точкой A и сторона A₁C₁ совместилась со стороной AC, то точка C₁ совпадёт с точкой C, так как A₁C₁ = AC. Сторона A₁B₁ совпадёт со стороной AB, так как ∠A = ∠A₁. Сторона C₁B₁ совпадёт со стороной CB, так как ∠C = ∠C₁. Вершина B₁ совпадёт с вершиной B, так как B и B₁ будут служить точками пересечения одних и тех же отрезков. Таким образом, треугольники совместятся. Теорема доказана.

Третий признак равенства треугольников

Теорема:

Два треугольника равны, если три стороны одного треугольника равны трём сторонам другого.

Рассмотрим два треугольника ABC и A₁B₁C₁, у которых:

Требуется доказать, что

ABC = A₁B₁C₁.

Приложим треугольники ABC и A₁B₁C₁ один к другому так, чтобы вершина A совместилась с A₁, вершина C — с C₁, а вершины B и B₁ оказались по разные стороны от прямой AC.

Соединив точки B и B₁, получим два равнобедренных треугольника BAB₁ и BСB₁.

В треугольнике BAB₁ ∠1 = ∠4, в BСB₁ ∠2 = ∠3 (как углы при основании). Следовательно,

Из этого следует, что треугольники ABC и A₁B₁C₁ равны по первому признаку равенства треугольников. Теорема доказана.

Признаки равенства прямоугольных треугольников

Для прямоугольных треугольников, кроме перечисленных трёх признаков равенства, имеются ещё дополнительные признаки, так как у них у всех есть прямой угол, а все прямые углы равны между собой.

Два прямоугольных треугольника будут равны в следующих четырёх случаях:

Источник

Признаки равенства треугольника

Первый признак равенства треугольников

Конечно, равенство треугольников всегда можно доказать наложением одного треугольника на другой. Но, согласитесь, — это несерьезно. Какое может быть наложение, когда есть три теоремы и можно их доказать.

Давайте рассмотрим три признака равенства треугольников.

Теорема 1. Равенство треугольников по двум сторонам и углу между ними.

Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Докажите равенство треугольников △ABC = △A₁B₁C₁.

△A₁B₁C₁ = △ABC, если при наложение вершина A₁ совмещается с вершиной A, и сторона A₁B₁ совмещается со стороной AB, AC — со стороной A₁C₁,
A₁B₁ = AB, вершина B совпадает с вершиной B₁
A₁C₁ = AC, поскольку ∠A = ∠A₁, вершина C совпадает с вершиной C₁.
B₁C₁ = BC,
△ABC = △A₁B₁C₁.

Второй признак равенства треугольников

Теорема 2. Равенство треугольников по стороне и двум прилежащим к ней углам.

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Путем наложения △ABC на △A₁B₁C₁, совмещаем вершину А с вершиной A₁.
Тогда АС совмещается с A₁C₁, вершина C совпадает с C₁, поскольку мы знаем, что АС = A₁C₁.

Третий признак равенства треугольников

Теорема 3. Равенство треугольников по трем сторонам.

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство 3 признака равенства треугольников:

Наложим △ABC на △A₁B₁C₁, таким образом, чтобы вершина A совпала с вершиной A₁, вершина B — с вершиной B₁, вершина C — с вершиной C₁.

Кроме трех основных теорем, запомните еще несколько свойств равенства треугольников.

Равны ли треугольники, можно определить не только по сторонам и углам, но и по высоте, медиане и биссектрисе.

Как видите, доказать равенство треугольников можно по множеству признаков и десятком способом. Три признака равенства треугольников — основные. Все остальные способы также стоит запомнить, ведь треугольник — только с виду простая фигура.

В онлайн-школе Skysmart ваш ребенок научится доказывать любые теоремы и справляться с даже самыми сложными задачками на контрольных. Вас ждут опытные преподаватели, удобная интерактивная платформа и даже онлайн-доска, на которой можно чертить фигуры вместе с учителем.

Записывайтесь на бесплатный вводный урок по математике и начните заниматься в удовольствие уже завтра!

Источник

Инструменты пользователя

Инструменты сайта

Боковая панель

Геометрия:

Контакты

Признаки равенства треугольников

Два треугольника называются равными, если их можно совместить наложением. На рисунке 1 изображены равные треугольники ABC и А₁В₁С₁. Каждый из этих треугольников можно наложить на другой так, что они полностью совместятся, т. е. попарно совместятся их вершины и стороны. Ясно, что при этом совместятся попарно и углы этих треугольников.

Таким образом, если два треугольника равны, то элементы (т. е. стороны и углы) одного треугольника соответственно равны элементам другого треугольника. Отметим, что в равных треугольниках против соответственно равных сторон (т. е. совмещающихся при наложении) лежат равные углы, и обратно: против соответственно равных углов лежат равные стороны.

Так, например, в равных треугольниках ABC и A₁B₁C₁, изображенных на рисунке 1, против соответственно равных сторон АВ и А₁В₁ лежат равные углы С и С₁. Равенство треугольников ABC и А₁В₁С₁ будем обозначать так: Δ ABC = Δ А₁В₁С₁. Оказывается, что равенство двух треугольников можно установить, сравнивая некоторые их элементы.

Теорема 1. Первый признак равенства треугольников. Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны (рис.2).

Доказательство. Рассмотрим треугольники ABC и A₁B₁C₁, у которых АВ = A₁B₁, АС = A₁C₁ ∠ А = ∠ А₁ (см. рис.2). Докажем, что Δ ABC = Δ A₁B₁C₁.

Так как ∠ А = ∠ А₁, то треугольник ABC можно наложить на треугольник А₁В₁С₁ так, что вершина А совместится с вершиной А₁, а стороны АВ и АС наложатся соответственно на лучи А₁В₁ и A₁C₁. Поскольку АВ = A₁B₁, АС = А₁С₁, то сторона АВ совместится со стороной А₁В₁ а сторона АС — со стороной А₁C₁; в частности, совместятся точки В и В₁, С и C₁. Следовательно, совместятся стороны ВС и В₁С₁. Итак, треугольники ABC и А₁В₁С₁ полностью совместятся, значит, они равны.

Аналогично методом наложения доказывается теорема 2.

Теорема 2. Второй признак равенства треугольников. Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны (рис. 34).

Замечание. На основе теоремы 2 устанавливается теорема 3.

Теорема 3. Сумма любых двух внутренних углов треугольника меньше 180°.

Из последней теоремы вытекает теорема 4.

Теорема 4. Внешний угол треугольника больше любого внутреннего угла, не смежного с ним.

Теорема 5. Третий признак равенства треугольников. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны (подробнее).

Пример 1. В треугольниках ABC и DEF (рис. 4)

∠ А = ∠ Е, АВ = 20 см, АС = 18 см, DE = 18 см, EF = 20 см. Сравнить треугольники ABC и DEF. Какой угол в треугольнике DEF равен углу В?

Решение. Данные треугольники равны по первому признаку. Угол F треугольника DEF равен углу В треугольника ABC, так как эти углы лежат против соответственно равных сторон DE и АС.

Пример 2. Отрезки АВ и CD (рис. 5) пересекаются в точке О, которая является серединой каждого из них. Чему равен отрезок BD, если отрезок АС равен 6 м?

Решение. Треугольники АОС и BOD равны (по первому признаку): ∠ АОС = ∠ BOD (вертикальные), АО = ОВ, СО = OD (по условию).
Из равенства этих треугольников следует равенство их сторон, т. е. АС = BD. Но так как по условию АС = 6 м, то и BD = 6 м.

Пример 3. В треугольниках ABC и DEF (см. рис. 4) АВ = EF, ∠A = ∠E, ∠B = ∠F.

Сравнить эти треугольники. Какие стороны в треугольнике DEF равны соответственно сторонам ВС и СА?

Решение. Треугольники ABC и DEF равны по второму признаку. Стороны DF и DE треугольника DEF равны соответственно сторонам ВС и СА треугольника ABC, так как стороны DF и ВС (DE и СА) лежат против равных углов Е и A (F и В).

Пример 4. На рисунке 6 углы DAB и СВА, CAB и DBA равны, СА = 13 м. Найти DB.

Решение. Треугольники АСВ и ADB имеют одну общую сторону АВ и по два равных угла, которые прилежат к этой стороне. Следовательно, треугольники АСВ и ADB равны (по второму признаку). Из равенства этих треугольников следует равенство сторон BD и АС, т. е. BD = 13 м.

Источник

Признаки равенства треугольников

Из школьного курса геометрии хорошо известен признак равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними, а именно:

Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны (рис. 1).

Естественно поставить вопрос о том, будут ли равны треугольники, если соответствующие равные углы в треугольниках не заключены между равными сторонами. Верно ли, что если две стороны и угол одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу другого треугольника, то такие треугольники равны.

Оказывается это неверно. Приведем пример. Рассмотрим окружность и ее хорду AB (рис. 2). С центром в точке A проведем другую окружность, пересекающую первую окружность в некоторых точках C и C₁. Тогда в треугольниках ABC и ABC₁ AB — общая сторона, однако треугольники ABC и ABC₁ не равны.

В формулировки признаков равенства треугольников можно включать не только стороны и углы, но и другие элементы треугольников. Рассмотрим несколько формулировок признаков равенства треугольников по трем элементам, включающим стороны, углы, высоты, биссектрисы и медианы треугольников. Выясним справедливость соответствующих признаков.

Если угол, сторона, противолежащая этому углу, и высота, опущенная на другую сторону, одного треугольника соответственно равны углу, стороне и высоте другого треугольника, то такие треугольники равны.

Пусть в треугольниках ABC и A₁B₁C₁ С = С₁, AB = A₁B₁, высота AH равна высоте A₁H₁ (рис. 3). Докажем, что треугольники ABC и A₁B₁C₁ равны.

Прямоугольные треугольники ABH и A₁B₁H₁ равны по катету и гипотенузе. Значит, Учитывая, что С = С₁, имеем равенство A = A₁. Таким образом, в треугольниках ABC и A₁B₁C₁

AB = A₁B₁, A = A₁, B = B₁.

Следовательно, эти треугольники равны по стороне и двум прилежащим к ней углам.

Пусть угол, сторона, прилежащая к этому углу, и высота, опущенная на другую сторону, прилежащую к данному углу, одного треугольника соответственно равны углу, стороне и высоте другого треугольника (рис. 4).

Приведем пример, показывающий, что равенства указанных элементов треугольников не достаточно для равенства самих треугольников.

Рассмотрим прямоугольные треугольники ABH и A₁B₁H₁ ( H = H₁ = 90 o ), в которых

AB = A₁B₁, B = B₁, AH = A₁H₁

AB = A₁B₁, B = B₁,

высоты AH и A₁H₁ равны, однако сами треугольники не равны.

Если две стороны и медиана, заключенная между ними, одного треугольника соответственно равны двум сторонам и медиане другого треугольника, то такие треугольники равны.

ACD = A₁C₁D₁.

Аналогично, треугольники BCD и B₁C₁D₁ равны по трем сторонам. Следовательно,

BCD = B₁C₁D₁.

Значит, С = С₁ и треугольники ABC и A₁B₁C₁ равны по двум сторонам и углу между ними.

Пусть угол, сторона, прилежащая к этому углу, и медиана, проведенная к этой стороне, одного треугольника соответственно равны углу, стороне и медиане другого треугольника (рис. 7).

Приведем пример, показывающий, что равенства указанных элементов не достаточно для равенства самих треугольников.

Рассмотрим окружность с центром в точке M (рис. 8). Проведем два диаметра AB и A₁B₁. Через точки A, A₁, M проведем еще одну окружность и выберем на ней точку C, как показано на рисунке. В треугольниках ABC и A₁B₁C

медиана СM — общая. Однако треугольники не равны.

Читайте также:  Признаки болезни желудка у женщин симптомы

Если сторона и две медианы, проведенные к двум другим сторонам, одного треугольника соответственно равны стороне и двум медианам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Точки O и O₁ пересечения медиан данных треугольников делят медианы в отношении 2 : 1, считая от вершины. Значит, треугольники ABO и A₁B₁O₁ равны по трем сторонам. Следовательно,

BAO = B₁A₁O₁,

значит, треугольники ABM и A₁B₁M₁ равны по двум сторонам и углу между ними. Поэтому

ABC = A₁B₁C₁.

Аналогично доказывается, что

BAC = B₁A₁C₁.

Таким образом, треугольники ABC и A₁B₁C₁ равны по стороне и двум прилежащим к ней углам.

Пусть угол и две медианы, проведенные к его сторонам, одного треугольника соответственно равны углу и двум медианам другого треугольника (рис. 10).

Приведем пример, показывающий, что равенства указанных элементов не достаточно для равенства самих треугольников.

Для этого рассмотрим две равные окружности с центрами в точках O₁ и O₂, касающиеся друг друга в точке M (рис. 11).

Проведем в одной из них хорду AB и прямую AM, пересекающую вторую окружность в некоторой точке C. Проведем отрезок BC. Получим треугольник ABC. Проведем в нем медиану CK и обозначим O точку, делящую ее в отношении 2 : 1, считая от вершины C. Проведем окружность с центром в точке O, радиуса OC, пересекающую вторую окружность в точке C₁. Проведем прямую C₁M и обозначим A₁ ее точку пересечения с первой окружностью. Обозначим K₁ точку пересечения хорды A₁B и прямой C₁O. В треугольниках ABC и A₁BC₁ A = A₁, медианы CK и C₁K₁ равны, медиана BM — общая. Однако треугольники ABC и A₁BC₁ не равны.

Ели две стороны и биссектриса, заключенная между ними, одного треугольника соответственно равны двум сторонам и биссектрисе другого треугольника, то такие треугольники равны.

Продолжим стороны AC и A₁C₁ и отложим на их продолжениях отрезки (рис. 12). Тогда

Треугольники BCE и B₁C₁E₁ равны по трем сторонам. Значит, E = E₁ и BE = B₁E₁. Треугольники ABE и A₁B₁E₁ равны по двум сторонам и углу между ними. Значит, AB = A₁B₁. Таким образом, треугольники ABC и A₁B₁C₁ равны по трем сторонам.

Пусть угол, сторона, прилежащая к этому углу, и биссектриса, проведенная к другой стороне, прилежащей к данному углу, одного треугольника соответственно равны углу, стороне и биссектрисе другого треугольника (рис. 13).

Пример треугольников ABC и ABC₁, изображенных на рисунке 14, показывает, что равенства указанных элементов не достаточно для равенства самих треугольников.

Действительно, в треугольниках ABC и ABC₁ B — общий, AB — общая сторона, биссектрисы AD и AD₁ равны. Однако треугольники ABC и ABC₁ не равны.

Пусть сторона, медиана и высота, проведенные к двум другим сторонам, одного треугольника соответственно равны стороне, медиане и высоте другого треугольника (рис. 15).

Приведем пример, показывающий, что равенства указанных элементов не достаточно для равенства самих треугольников.

Для этого рассмотрим окружность и угол с вершиной в центре A этой окружности (рис. 16). Отложим на его стороне отрезок AB, больший диаметра, и через его середину K проведем прямую, параллельную другой стороне угла, и пересекающую окружность в некоторых точках M и M₁. Проведем прямые BM, BM₁ и точки их пересечения со стороной угла обозначим соответственно C и C₁. Тогда в треугольниках ABC и ABC₁ сторона AB — общая, высота BH — общая, медианы AM и AM₁ равны, однако треугольники ABC и ABC₁ не равны.

Два треугольника равны, если сторона, медиана и высота, проведенные к другой стороне, одного треугольника соответственно равны стороне, медиане и высоте другого треугольника.

Два треугольника равны, если три медианы одного треугольника соответственно равны трем медианам другого треугольника.

Пусть O и O₁ — точки пересечения медиан данных треугольников. Заметим, что медианы OM и O₁M₁ треугольников ABO и A₁B₁O₁ равны, так как они составляют одну третью часть соответствующих медиан данных треугольников.

По признаку равенства треугольников, доказанному нами под номером 3, треугольники ABO и A₁B₁O₁ равны, значит, AB = A₁B₁.

Два треугольника равны, если три высоты одного треугольника соответственно равны трем высотам другого треугольника.

Обозначим стороны треугольников соответственно a, b, c и a₁, b₁, c₁, а соответствующие высоты h_a, b_b, h_c и h_1a, h_1b, h_1c. Имеют место равенства ah_a = bh_b = ch_c и a₁h_1a = b₁h_1b = c₁h_1c. Разделив почленно первые равенства на вторые, получим равенства из которых следует, что треугольники ABC и A₁B₁C₁ подобны. Так как соответствующие высоты этих треугольников равны, то они не только подобны, но и равны.

Источник