Величина дисперсии альтернативного признака находится в интервале

Дисперсия альтернативного признака

Вычисление дисперсии способом моментов

Способ моментов применяется для упрощения расчетов в том случае, если варианты − большие числа. Первые четыре пункта такие же, как для вычисления средней арифметической способом моментов.

1 Выбираем так называемый «ложный ноль» – это варианта, имеющая наибольшую частоту или находящаяся в середине вариационного ряда.

Замечание: в качестве «ложного ноля» можно взять и любую другую варианту, но тогда вычисления будут более сложными.

2 Определяем условную варианту по формуле

,

где А – «ложный ноль»

h – величина интервала.

3 Если частоты большие числа, то можно перевести их в проценты:

4 Вычисляем момент первого порядка по формуле

5 Вычисляем момент 2-го порядка:

6 Вычисляем дисперсию:

В ряде случаев возникает необходимость изучать не среднюю величину, а долю единиц, обладающих каким-либо признаком. Признаки, имеющие только два взаимоисключающих значения − это наличие признака и его отсутствие, − называются альтернативными.

Альтернативные признаки − это совокупность атрибутивных признаков. Обозначим наличие признака через 1, отсутствие через 0, долю единиц, обладающих признаком, − р, а долю, не обладающих признаком, − q.

Тогда получим следующий ряд:

Вычислим числовые характеристики для этого ряда:

Среднее значение альтернативного признака равно доле единиц, обладающих этим признаком.

Дисперсия альтернативного признака равна произведению доли единиц, обладающих признаком, на число, дополняющую эту долю до единицы.

Из обследованных 1000 единиц продукции, 800 оказались высшего сорта. Определить среднее значение, дисперсию, среднее квадратическое отклонение доли продукции высшего сорта.

Доля продукции высшего сорта: р=800/1000=0,8.

Т.к. = р, то = 0,8 или 80%. Следовательно 80% всей продукции – высшего сорта.

Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет

Источник

Дисперсия альтернативного признака

Признак, для которою существует только два взаимоисключающих варианта значений, называется альтернативным. Например, годная и негодная (бракованная) продукция.

Эквивалентом такого признака можно считать переменную , которая принимает значение 1, когда обследуемая единица совокупности обладает изучаемым признаком или 0, когда не обладает.

Обозначим долю единиц, обладающих признаком (годная продукция) — р, а долю единиц, не облагающих признаком (бракованная продукция) – q.

По формуле средней арифметической взвешенной:

r w:val=»000000″/> X «> =

Таким образом, среднее значение альтернативного признака равно частости варианты, обладающей этим признаком.

Дисперсию альтернативного признака рассчитаем по формуле (4.6):

Заменив в этом выражении (1-р) на q, получим

Таким образом, дисперсия альтернативною признака равна произведению доли единиц, обладающих признаком, на долю единиц, не обладающих этим признаком. Предельное значение дисперсии альтернативного признака равно 0,25, когда p=q=0.5.

Пример.Известно, что качественные товары составили 85% всех отобранных при проверке товаров. Следовательно, на долю бракованных пришлось— 15%.

В соответствии с выше записанными формулами:

r w:val=»000000″/> X «> =р=85%, а

Соответственно среднее квадратическое отклонение определится как

= 0,34.

Источник

Читайте также:  Гипергликемическая кома понятие основные признаки неотложная помощь

Дисперсия альтернативного признака

Среди множества варьирующих признаков, изучаемых статистикой, существуют признаки, которыми обладают одни единицы совокупности и не обладают другие. Эти признаки называются альтернативными. Примером таких признаков являются наличие бракованной продукции, ученая степень преподавателя вуза, учеба по определенной специальности и т. д.

Предположим, что вся статистическая совокупность имеет n единиц. Из них m единиц обладают выделенным признаком, тогда оставшиеся nm единиц не обладают этим признаком.

Долю единиц, обладающих признаком, обозначим: , тогда пусть –доля единиц, не обладающих данным признаком.

Единицам х, обладающим данным признаком, присвоим значение х = 1, а не обладающим – х = 0.

Среднее значение альтернативного признака:

= р.

То есть среднее значение альтернативного признака равно доле единиц, обладающих данным признаком.

Дисперсия альтернативного признака:

σ 2 =

То есть дисперсия альтернативного признака равна произведению доли единиц, обладающих данным признаком, на долю единиц, не обладающих данным признаком.

Пример: 5% изготовленных изделий – брак, тогда 95% изделий годных. Дисперсия доли брака равна: σ 2 = 0,05×0,95 = 0,0475, а среднее квадратическое отклонение доли брака составляет σ = или 22%.

Предельное значение дисперсии альтернативного признака равно 0,25; оно получается при р = q = 0,5.

Источник

Дисперсия альтернативного признака

Среди множества варьирующих признаков, изучаемых статистикой, существуют признаки, которыми обладают одни единицы совокупности и не обладают другие. Эти признаки называются альтернативными. Примером таких признаков являются наличие бракованной продукции, ученая степень преподавателя вуза, учеба по определенной специальности и т. д.

Предположим, что вся статистическая совокупность имеет nединиц. Из нихmединиц обладают выделенным признаком, тогда оставшиесяnmединиц не обладают этим признаком.

Долю единиц, обладающих признаком, обозначим: , тогда пусть– доля единиц, не обладающих данным признаком.

Единицам х,обладающим данным признаком, присвоим значениех= 1, а не обладающим –х= 0.

Среднее значение альтернативного признака:

=р.

То есть среднее значение альтернативного признака равно доле единиц, обладающих данным признаком.

Дисперсия альтернативного признака:

σ 2 =

То есть дисперсия альтернативного признака равна произведению доли единиц, обладающих данным признаком, на долю единиц, не обладающих данным признаком.

Пример:5% изготовленных изделий – брак, тогда 95% изделий годных. Дисперсия доли брака равна: σ 2 = 0,050,95 = 0,0475, а среднее квадратическое отклонение доли брака составляет σ =или 22%.

Предельное значение дисперсии альтернативного признака равно 0,25; оно получается при р=q= 0,5.

3. Дисперсионный анализ

Вариация признака обусловлена различными факторами, некоторые из этих факторов можно выделить, если статистическую совокупность разбить на группы по какому-либо признаку. Тогда, наряду с изучением вариации признака по всей совокупности в целом, становится возможным изучить вариацию для каждой из составляющих ее группы, а также и между этими группами. В простейшем случае, когда совокупность расчленена на группы по одному фактору, изучение вариации достигается посредством исчисления и анализа трех видов дисперсий:общей, межгрупповой и внутригрупповой.

Общая дисперсия σ 2 общизмеряет вариацию признака по всей совокупности под влиянием всех факторов, обусловивших эту вариацию. Она равна среднему квадрату отклонений отдельных значений признака х от общей по совокупности средней и может быть вычислена по формуле простой или взвешенной дисперсии.

Читайте также:  По каким признакам нормируется шум

Межгрупповая дисперсия σ 2 межгр характеризует систематическую вариацию результативного признака, обусловленную влиянием признака-фактора, положенного в основание группировки. Она равна среднему квадрату отклонений групповых (частных) средних от общей средней:

σ 2 межгр= ,

где f — численность единиц в группе.

Внутригрупповая (частная) дисперсия σ 2 i отражает случайную вариацию, т. е. часть вариации, обусловленную влиянием неучтенных факторов и не зависящую от признака-фактора, положенного в основание группировки. Она равна среднему квадрату отклонений отдельных значений признака внутри группы х от средней арифметической этой группы (групповой средней) и может быть исчислена по формуле простой или взвешенной дисперсии:

σ 2 i= (простая формула);

σ 2 i= (взвешенная).

На основании внутригрупповой дисперсии по каждой группе (σ 2 i) можно определить общую среднюю из внутригрупповых дисперсий:

= .

Согласно правилу сложения дисперсий общая дисперсия равна сумме средней из внутригрупповых и межгрупповой дисперсий:

σ 2 общ= σ 2 межгр+ .

Пользуясь правилом сложения дисперсий, можно всегда по двум известным дисперсиям определить третью — неизвестную, а также судить о силе влияния группировочного признака.

Чем больше доля межгрупповой дисперсии в общей дисперсии, тем сильнее влияние группировочного признака на изучаемый признак.

В статистическом анализе широко используется эмпирический коэффициент детерминации (η 2 ) — показатель, представляющий собой долю межгрупповой дисперсии в общей дисперсии результативного признака и характеризующий силу влияния группировочного признака на образование общей вариации:

η 2 = .

Эмпирический коэффициент детерминации показывает долю вариации результативного признака у под влиянием факторного признака х (остальная часть общей вариации у обусловливается вариацией прочих факторов). При отсутствии связи эмпирический коэффициент детерминации η 2 равен нулю, а при функциональной связи — единице. Если, например η 2 = 0,666, это значит, что на 66,6% вариация исследуемого показателя обусловлена различиями в значениях признака-фактора, положенного в основание группировки, и на 33,4% — влиянием прочих факторов.

Эмпирическое корреляционное отношение — это корень квадратный из эмпирического коэффициента детерминации:

η = .

Оно показывает тесноту связи между группировочным и результативным признаками.

Если связь отсутствует, то корреляционное отношение η = 0, т. е. все групповые средние будут равны между собой, межгрупповой вариации не будет. Значит, группировочный признак никак не влияет на образование общей вариации.

Если связь функциональная, то корреляционное отношение η = 1. В этом случае межгрупповая дисперсия равна общей дисперсии (σ 2 межгр = σ 2 ), т. е. внутригрупповой вариации не будет. Это означает, что группировочный признак целиком определяет вариацию изучаемого результативного признака.

Чем значение корреляционного отношения ближе к единице, тем теснее, ближе к функциональной зависимости связь между признаками.

Источник

Расчет дисперсии альтернативного признака

Показатели вариации

Показатели вариации характеризует колеблемость индивидуальных значений признака по отношению к среднему значению, что не менее важно, чем определение самой средней. Средняя не показывает строения совокупности, как располагаются около нее варианты осредняемого признака, сосредоточены ли они вблизи средней или значительно отклоняются от нее. Средняя величина признака в двух совокупностях может быть одинаковой, но в одном случае все индивидуальные значения отличаются от нее мало, а в другом эти отличия велики, т.е. в одном случае вариация признака мала, а в другом велика.
Это можно показать на таком примере. Предположим, что две бригады из 3-х человек каждая выполняют одинаковую работу. Количество деталей, изготовленных за смену отдельными рабочими, составило:
в первой бригаде- 95, 100, 105;
во второй бригаде- 75, 100, 125.
Средняя выработка на одного рабочего в бригадах составила

Читайте также:  Текст основные признаки текста связь предложений в тексте

, .
Средняя выработка одинакова, но колеблемость выработки отдельных рабочих в первой бригаде значительно меньше, чем во второй.
Следовательно, чем больше варианты отдельных единиц совокупности различаются между собой, тем больше они отличаются от своей средней, и наоборот – варианты, мало отличающиеся друг от друга, более близки по значению к средней, которая в таком случае будет более реально представлять всю совокупность.

Поэтому для характеристики и измерения вариации признака в совокупности кроме средней используют следующие показатели:

Группы рабочих по выработке, шт.

Число рабочих,

Середина интервала,

170-190 10 180 1800 -36 360 1296 12960 190-210 20 200 4000 -16 320 256 5120 210-230 50 220 11000 4 200 16 800 230-250 20 240 4800 24 480 576 11520 Итого: 100 — 21600 — 1360 — 30400

Среднесменная выработка рабочих:

Среднее линейное отклонение:

Дисперсия выработки:

Среднее квадратическое отклонение выработки отдельных рабочих от средней выработки:
.

Вычисление дисперсий связано с громоздкими расчетами (особенно если средняя величина выражена большим числом с несколькими десятичными знаками). Расчеты можно упростить, если использовать упрощенную формулу и свойства дисперсии.
Дисперсия обладает следующими свойствами (доказываемые в математической статистике):

1. если все значения признака уменьшить или увеличить на одну и ту же величину А, то дисперсия от этого не уменьшится,

Расчет дисперсии альтернативного признака

Среди признаков, изучаемых статистикой, есть и такие, которым свойственны лишь два взаимно исключающих значения. Это альтернативные признаки. Им придается соответственно два количественных значения: варианты 1 и 0. Частостью варианты 1, которая обозначается p, является доля единиц, обладающих данным признаком. Разность 1-р=q является частостью варианты 0. Таким образом,

Средняя арифметическая альтернативного признака
, т. к. p+q=1.

Дисперсия альтернативного признака
, т.к. 1-р=q
Таким образом, дисперсия альтернативного признака равна произведению доли единиц, обладающих данным признаком, и доли единиц, не обладающих этим признаком.
Если значения 1 и 0 встречаются одинаково часто, т. е. p=q, дисперсия достигает своего максимума pq=0,25.
Дисперсия альтернативного признака используется в выборочных обследованиях, например, качества продукции.

Дата добавления: 2018-02-28 ; просмотров: 1192 ; Мы поможем в написании вашей работы!

Источник

Adblock
detector