Признаки равенства прямоугольных треугольников без доказательств

Признаки равенства прямоугольных треугольников

Урок 24. Геометрия 7 класс

Конспект урока «Признаки равенства прямоугольных треугольников»

Первый признак равенства треугольников:

Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Второй признак равенства треугольников:

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Воспользуемся первым и вторым признаками равенства треугольников и докажем следующие признаки равенства прямоугольных треугольников.

Теорема (о равенстве прямоугольных треугольников по двум катетам):

Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Возьмём два прямоугольных треугольника АВС и А1В1С1. Пусть катет АС=А1С1, а катет ВС=В1С1. В прямоугольном треугольнике угол между катетами прямой, а любые два прямых угла равны. То есть ∠С=С1=90 градусов. Получаем, что треугольники АВС и А1В1С1 равны по первому признаку равенства треугольников. Теорема доказана.

Теорема (о равенстве прямоугольных треугольников по катету и прилежащему острому углу):

Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Теорема (о равенстве прямоугольных треугольников по гипотенузе и острому углу):

Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Таким образом, получили, что гипотенуза АВ и два прилежащих к ней угла треугольника АВС соответственно равны гипотенузе А1В1 и двум прилежащим к ней углам треугольника А1В1С1. Следовательно, треугольники равны по второму признаку равенства треугольников. Теорема доказана.

Теорема (о равенстве прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету):

Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие треугольнике равны.

Приложим треугольники друг к другу равными катетами, получаем:

В результате получаем, что у прямоугольных треугольников АВС и А1В1С1 равны и вторые катеты. А следовательно, эти треугольники равны по трём сторонам (или по двум катетам). Теорема доказана.

На рисунке отрезки СА и DB перпендикулярны прямой АВ, отрезок ОА=ОВ. Доказать, что отрезок СА=DB.

Рассмотрим прямоугольные треугольники АСО и BDO. АО=OB по условию задачи. Углы AOC и BOD равны как вертикальные.

Тогда треугольники АСО и ВDО равны по катету и острому углу. Откуда отрезки СА и DB равны как стороны равных треугольников. Что и требовалось доказать.

Рассмотрим прямоугольные треугольники АСD и А1С1D1. У них гипотенуза АD=А1D1. Углы САD и С1А1D1 равны как половины равных углов САВ и С1А1В1. Получаем, что треугольники АСD и А1С1D1равны по гипотенузе и острому углу. Следовательно, АС и А1С1 равны как стороны равных треугольников. Тогда и треугольники АВС и А1В1С1 равны, так как катет АС=А1С1 и ∠ВАС=∠В1А1С1. Что и требовалось доказать.

Источник

Признаки равенства прямоугольных треугольников

В данной публикации мы рассмотрим признаки равенства прямоугольных треугольников, изучаемые по геометрии 7 класса. Также разберем пример решения задачи для закрепления изложенного материала.

Равенство прямоугольных треугольников

Два прямоугольных треугольника равны, если они соответствуют одному из следующих условий.

1 признак

Катет и гипотенуза первого прямоугольного треугольника равны катету и гипотенузе второго треугольника.

2 признак

Два катета первого прямоугольного треугольника равны двум катетам второго треугольника.

3 признак

Катет и острый угол первого прямоугольного треугольника равны катету и острому углу второго треугольника.

Читайте также:  Признаки злокачественной родинки после удаления

4 признак

Гипотенуза и острый угол первого прямоугольного треугольника равны гипотенузе и острому углу второго треугольника.

Пример задачи

Дана трапеция ABCD, в которой на основание AD опущены две высоты – BE и CF. При этом отрезки AE и FD равны. Докажите, что трапеция ABCD – равнобокая.

Решение

Трапеция ABCD является равнобокой, если равны AB и CD.

Опущенные на основание AD высоты образуют два прямоугольных треугольника – △ABE и △FCD.

По условиям задачи AE и FD, которые являются катетами рассматриваемых треугольников, равны.

BE и CF – это высоты трапеции, одновременно являющиеся катетами наших треугольников. Как расстояния между двумя параллельными линиями (основаниями трапеции), они также имеют одинаковую длину.

Таким образом, мы имеем два прямоугольных треугольника c равными катетами (AE=FD и BE=CF). Это является одним из признаков равенства фигур.

Это значит, что AB=CD (гипотенузы треугольников). Отсюда следует, что трапеция ABCD – равнобокая.

Источник

Общие сведения

Треугольник — замкнутая геометрическая фигура, которая состоит из трёх отрезков, образующих 3 внутренних угла. Другими словами — это многоугольник, состоящий из трёх соединённых точек, не лежащих на одной прямой. При этом их последовательно объединяет 3 линии.

Обозначать фигуру принято тремя латинскими буквами — ABC. Причём по отдельности этими символами подписывают и точки соединения отрезков. Их ещё часто называют вершинами. Углы, которые образуются при них, обозначают одной буквой или используется специальный знак с указанием исходящих из точки линий. Например, в вершине A подписать угол можно как α или ∠ ABC. Стороны, которые лежат против углов, принято указывать маленькими буквами: a, b, c.

Все треугольные многоугольники разделяют на несколько групп по виду их углов. Причём их сумма, вне зависимости от типа фигуры, всегда равна 180 градусов. Треугольники бывают:

Если у фигуры 2 стороны одинаковы по величине, её называют равнобедренной. Отличный от них отрезок является основанием треугольника. Если же боковые грани в многоугольнике одинаковые, его называют равносторонним или правильным. Есть и третий вид — разносторонний. Все боковые стороны в таком случае не равны друг другу.

Существуют несколько различных свойств равенства треугольников. Они выводятся из замечательных линий и точек фигуры. К ним относится: медиана, биссектриса и высота.

Под первой понимают линию, проведённую из угла к противоположной стороне, разделяющей её на 2 одинаковых отрезка. Биссектрисой является прямая, построенная из вершины к противолежащей грани и делящая её пополам. Высота — перпендикуляр, опущенный из вершины на противоположную сторону.

В любом треугольнике можно начертить по 3 таких замечательных линии. Но при этом в прямоугольном многоугольнике высота совпадает с одной из сторон геометрического тела. Называют её катетом. Отличную же сторону — гипотенузой.

Особенности многоугольников с тремя углами

Признаком прямоугольного треугольника является прямой угол. Образуют его стороны — катеты. Равными называются фигуры, которые можно совместить наложением друг на друга. Другими словами, соответствующие стороны двух и более треугольников имеют одинаковую длину. Для определения признаков равенства прямоугольных многоугольников используют особенности фигур. Заключаются они в следующем:

Вокруг прямоугольной фигуры можно описать окружность. При этом радиус круга будет равняться половине гипотенузы: R = c / 2. Если же в треугольник вписать окружность, её диаметр можно вычислить по формуле: d = (a + b — c) = (2 * a * b) / (a + b + c).

Равенство фигур

Признаки равенства прямоугольных многоугольников вытекают из свойств треугольников общего вида. Они помогают решать задачи, связанные с нахождением параметров прямоугольников, квадратов, трапеций и других видов сложных фигур.

Всего есть 3 правила:

Есть ещё одно правило, которое является следствием предыдущих признаков. Сформулировать его можно так: когда в двух треугольниках совпадает длина любого из катетов и гипотенузы, они идентичны. Доказательство этого признака заключается в использовании теоремы о равенстве фигур с одинаковыми боковыми гранями и большим углом. Для прямоугольной фигуры таким будет являться угол равный 90 градусов.

Применение правил на практике

Признаки равенства довольно важны для геометрии. Доказательства различных теорем построены именно на них. При этом с их помощью можно решать сложные задачи, связанные с многогранниками различных видов. Вот одно из таких заданий, для успешного решения которого нужно использовать правила равенства.

Читайте также:  Все о родах признаки схватки

Имеется трапеция ABCD. В ней опущены высоты BK и CN. Известно, что AK = ND. Доказать, что заданная фигура равнобокая. Сделать это можно будет, установив, что 2 прямоугольных треугольника равны друг другу, то есть ABK и CND после совмещения друг с другом будут совпадать. Значит: AB = CD.

По условию AK = ND, при этом отрезки AD и BC параллельны между собой. Последнее следует из определения параллелограмма. Можно утверждать, что высоты BK и CN имеют одинаковую длину. Это известно из правила равенства расстояния между двумя параллельными прямыми. В результате получается, что в треугольниках равны между собой 2 стороны (катеты) и угол. Из равенства следует, что все элементы в треугольнике одинаковые, то есть ABK = CND, значит: AB = CD, что и требовалось доказать.

Ещё один пример. Пусть есть геометрическое тело ABCD. В нём ∠С и ∠D равны 90 градусов. Известно, что длина AC совпадает с AD. Нужно установить, какой отрезок фигуры будет равен BD. Сделать это можно следующим образом: если провести отрезок, соединяющий вершины A и B, получится 2 треугольника с прямыми углами. При этом гипотенуза у них будет общей. Но также по условию у них равны 2 катета. Опираясь на третий признак идентичности треугольников, можно утверждать, что ACB = ADB. Отсюда следует, что у них равны все противолежащие стороны. Значит: BD = CD. Задача решена.

Таким образом, при решении задач со сложными фигурами, можно вначале оценить их на возможность использования свойств и признаков треугольников. В частности, прямоугольного. Фигуры нужно научиться видеть и использовать их свойства. Ведь треугольные тела уникальные и помогают в ряде случаев намного упростить решение примеров.

Признаки равенства начинают изучать в седьмом классе, сразу же после ознакомления с простейшими видами геометрических тел. Причём эти правила пригодятся и в дальнейшем, на уроках по стереометрии и аналитической геометрии.

Источник

Признаки равенства прямоугольных треугольников

Так как в прямоугольном треугольнике угол между двумя катетами прямой, а любые два прямых угла равны, то из первого признака равенства треугольников следует:

Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого, то такие треугольники равны.

Далее, из второго признака равенства треугольников следует:

Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого, то такие треугольники равны.

Рассмотрим ещё два признака равенства прямоугольных треугольников.

Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого, то такие треугольники равны.

Из свойства 1 0 п. 35 следует, что в таких треугольниках два других острых угла также равны, поэтому треугольники равны по второму признаку равенства треугольников, т. е. по стороне (гипотенузе) и двум прилежащим к ней углам. Теорема доказана.

Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого, то такие треугольники равны.

Рассмотрим треугольники АBС и А1B1С1, у которых углы С и C1 — прямые, АB = А1B1, BС = B1С1 (рис. 133, а, б). Докажем, что АВС = A1B1C1.

Так как ∠C = ∠Csub>1, то треугольник АВС можно наложить на треугольник А1B1С1 так, что вершина С совместится с вершиной С1, а стороны СА и СВ наложатся соответственно на лучи С1А1 и С1B1. Поскольку СB = С1B1, то вершина B совместится с вершиной B1. Но тогда вершины А и А1 также совместятся. В самом деле, если предположить, что точка А совместится с некоторой другой точкой А2 луча С1А1, то получим равнобедренный треугольник А1В1А2, в котором углы при основании А1А2 не равны (на рисунке 133, б ∠A2 — острый, a ∠A1 — тупой как смежный с острым углом В1А1С1). Но это невозможно, поэтому вершины А и А1 совместятся.

Следовательно, полностью совместятся треугольники АВС и А1В1С1, т. е. они равны. Теорема доказана.

Читайте также:  Признаки паразитов в организме человека лечение народными средствами

Источник

Признаки равенства прямоугольных треугольников

Первый признак равенства прямоугольных треугольников

Признаки равенства прямоугольных треугольников вытекают из трех признаков равенства треугольников, но прямой угол искажает их,скорее расширяет, при этом делая проще. Любой из признаков равенства прямоугольных треугольников можно заменить одним из трех основных, но это будет занимать слишком много времени, поэтому были выделены 5 свойств и признаков равенства прямоугольных треугольников.

Очень часто вместо использования основных признаков равенства треугольников, используется метод наложения, когда две фигуры мысленно накладываются одна на другую. Нельзя сказать, что это верно или неверно. Просто еще один способ доказательства, который стоит учитывать. Но нельзя думать, что любой признак можно доказать обычным наложением. Именно поэтому рассмотрим доказательство признаков равенства прямоугольных треугольников через три основных признака равенства треугольников.

Первый признак равенства прямоугольных треугольников гласит: два прямоугольных треугольника равны, если два катета одного треугольника равны двум катетам другого треугольника. Коротко этот признак называют равенством по двум катетам.

Рис. 1. Равенство по двум катетам

Доказать этот признак очень просто. Дано: два катета прямоугольных треугольника равны. Между катетами находится прямой угол, который равен 90 градусам, а значит и величина углов у треугольников совпадает. Следовательно, два треугольника равны по двум сторонам и углу между ними.

Второй признак

Второй признак читается так: два прямоугольных треугольника равны, если катет и прилежащий острый угол одного треугольника равны катету и прилежащему острому углу другого треугольника.

Второй признак доказывается исходя из того же утверждения о равенстве прямых углов между собой. Если у треугольников катеты равны, острые углы при них равны, а прямые углы равны по определению, то такие треугольники равны по второму признаку равенства (стороне и двум, прилежащим к ней углам).

Третий признак

Два прямоугольных треугольника равны, если равны катет и противолежащий острый угол одного треугольника катету и противолежащему углу другого треугольника.

Рис. 2. Рисунок к доказательству

Сумма острых углов в треугольнике равна 90 градусов. Обозначим углы малыми латинскими буквами для простоты доказательства. Один угол прямой, а два других обозначим буквами a и b в первом треугольнике; c и d во втором треугольнике.

Углы a и d равны между собой по условию задачи.

Вычтем из обеих сторон выражения угол a

То есть, если в двух прямоугольных треугольника два острых угла равны между собой, то и два других острых угла, также будут равны, и мы можем воспользоваться вторым признаком.

Во втором и третьем признаке нужно особенно акцентировать внимание на остром угле, так как прямые углы всегда равны между собой.

Четвертый признак

Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Как было сказано в предыдущем признаке: если острый угол прямоугольного треугольника равен соответствующему острому углу другого прямоугольного треугольника, то и другая пара острых углов треугольников будет равна между собой.

Значит, по условиям этого признака мы имеем равенство гипотенузы и двух острых углов треугольников, а, значит, такие треугольники будут равны по стороне и двум прилежащим к ней углам (2 признак равенства треугольников)

Пятый признак

Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого треугольника, то такие треугольники равны.

Если гипотенуза и катет у двух треугольников соответственно равны, то и вторые катеты таких треугольников будут равны между собой. Это вытекает из теоремы Пифагора.

Рис. 3. Равенство по катету и гипотенузе

Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Гипотенузы равны между собой, катет одного треугольника равен катету другого треугольника, значит, чтобы сумма оставалась верной, и два других катета будут равны между собой. А это соответствует третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).

Что мы узнали?

Мы рассмотрели доказательство пяти признаков равенства треугольников через основные признаки равенства треугольников. Разобрались, почему такое доказательство предпочтительнее наложения и определили путь доказательства, который позволит в любой момент восстановить основные понятия темы в памяти, без излишнего заучивания.

Источник

Adblock
detector