Признак дирихле несобственный интеграл

Содержание
  1. Несобственные интегралы, зависящие от параметра. Равномерная сходимость
  2. Равномерная сходимость несобственных интегралов по параметру.
  3. Признаки равномерной сходимости несобственных интегралов по параметру.
  4. Непрерывность, интегрируемость и дифференцируемость несобственного интеграла по параметру.
  5. Перестановка порядка интегрирования в том случае, когда оба интеграла несобственные.
  6. Несобственные интегралы
  7. Определение несобственных интегралов.
  8. Интеграл на бесконечном промежутке.
  9. Интеграл на конечном промежутке.
  10. Другие типы несобственных интегралов.
  11. Свойства и вычисление несобственных интегралов.
  12. Линейность интеграла.
  13. Формула Ньютона-Лейбница.
  14. Интегрирование по частям.
  15. Замена переменного.
  16. Интегрирование неравенств.
  17. Несобственные интегралы от неотрицательных функций.
  18. Абсолютно и условно сходящиеся интегралы.
  19. Признаки Дирихле и Абеля сходимости интегралов.

Несобственные интегралы, зависящие от параметра. Равномерная сходимость

Равномерная сходимость несобственных интегралов по параметру.

Предположим, что выполнены следующие условия:

Интеграл
$$
\int\limits_<0>^ <+\infty>e^ <-x>\cos xy\ dx\label
$$
сходится равномерно по параметру у на интервале \((-\infty, +\infty) = \mathbb\).

\(\vartriangle\) Для любого \(\varepsilon > 0\) существует \(b’ = \displaystyle\ln \frac<2><\varepsilon>\) такое, что для любого \(\xi \in [b’, +\infty)\) и любого \(y \in Y\) выполняется неравенство
$$
\left|\int\limits_<\xi>^ <+\infty>e^ <-x>\cos xy\ dx\right| \leq \int\limits_<\xi>^ <+\infty>e^<-x>\ dx = e^ <-\xi>\leq e^ <-b’>= \frac<\varepsilon> <2>Определение.

Интеграл
$$
I_ = \int\limits_<0>^ <+\infty>ye^<-xy>\ dx\nonumber
$$
сходится неравномерно по параметру \(y\) на полуинтервале \([0, +\infty)\).

\(\vartriangle\) Возьмем \(\varepsilon = e^<-1>\). Тогда для любого \(b’ \in (0, +\infty)\) существует \(\xi = b’\) и \(y = 1/b’\) такие, что
$$
\int\limits_<\xi>^ <+\infty>ye^<-xy>\ dx = \int\limits_^ <+\infty>ye^<-xy>\ dx = \int\limits_^ <+\infty>e^<-t>\ dt = \int\limits_<1>^ <+\infty>e^<-t>\ dt = e^ <-1>= \varepsilon,\nonumber
$$
и поэтому интеграл \(\displaystyle I_ = \int\limits_<0>^ <+\infty>ye^<-xy>\ dx\) сходится неравномерно по параметру \(y\) на множестве \(Y = [0, +\infty)\). \(\blacktriangle\)

Признаки равномерной сходимости несобственных интегралов по параметру.

(Признак Вейерштрасса равномерной сходимости несобственного интеграла по параметру).

Пусть для любого \(y \in Y\) функция \(f(x, y)\) интегрируема по \(x\) на любом отрезке \([a, b’] \subset [a, b)\), и пусть на \([a, b)\) существует функция \(\varphi(x)\) такая, что для всех \(y \in Y\) и всех \(x \in [a, b)\) выполнено неравенство \(|f(x, y)| \leq \varphi(x)\), а несобственный интеграл \(\displaystyle\int\limits_^ \varphi(x)\ dx\) сходится.

Интеграл
$$
\int\limits_<0>^ <+\infty>\frac<\cos xy><1+x^<2>>\ dx\label
$$
сходится равномерно по параметру \(y\) на интервале \((-\infty, +\infty)\).

\(\vartriangle\) Так как \(\displaystyle\frac<|\cos xy|><1+x^<2>> \leq \frac<1><1+x^<2>>\) и \(\displaystyle\int\limits_<0>^ <+\infty>\frac<1+x^<2>> = \frac<\pi><2>\), то по признаку Вейерштрасса интеграл \eqref сходится равномерно по параметру \(y\) на \((-\infty, +\infty)\). \(\blacktriangle\)

Докажем признак Дирихле равномерной сходимости для интегралов вида
$$
\int\limits_^ <+\infty>f(x, y) g(x, y)\ dx,\ y \in Y.\label
$$

(Признак Дирихле равномерной сходимости несобственного интеграла по параметру).

Тогда интеграл \eqref сходится равномерно по параметру \(y\) на множестве \(Y\).

\(\circ\) По признаку Дирихле несобственный интеграл \eqref сходится при любом \(y \in Y\). Покажем, что он сходится равномерно по параметру \(y\) на множестве \(Y\).

Так как по условию 4) функция \(\psi(x) \rightarrow 0\) при \(x \rightarrow +\infty\), то для любого \(\varepsilon > 0\) существует \(a’ > a\) такое, что для любого \(\xi \in [a’, +\infty)\) выполнено неравенство
$$
\psi(\xi) Замечание 2.

Если \(+\infty\) — единственная особая точка сходящегося интеграла \eqref, то этот интеграл сходится равномерно по параметру \(y\) на множестве \(Y\) в том и только том случае, когда при любом \(a’ > a\) интеграл \(\displaystyle\int\limits_^ <+\infty>f(x, y) g(x, y)\ dx\) сходится равномерно по параметру \(y\) на множестве \(Y\).

Поэтому для справедливости утверждения теоремы 2 достаточно, чтобы условия 1)-4) выполнялись на некотором промежутке \([a’, +\infty) \subset [a, +\infty)\).

Интеграл
$$
\int\limits_<0>^ <+\infty>e^ <-xy>\frac<\sin x>\ dx\label
$$
сходится равномерно по параметру \(y\) при \(y \in [0, +\infty)\).

\(\vartriangle\) Так как функция \(\sin x\) имеет ограниченную первообразную, а при \(x \geq 1\), \(y \geq 0\) выполнены следующие условия:
$$
\frac<\partial> <\partial x>\left(\frac>\right) =-\frac>>(1+xy) Теорема 3.

(Критерий Коши равномерной сходимости несобственного интеграла по параметру).

Получаем, что для любого \(\xi \in [b’, b)\) и для любого \(y \in Y\) выполнено неравенство \(\displaystyle\left|\int\limits_<\xi>^ f(x, y)\ dx\right| \leq \varepsilon\), из которого следует, что интеграл \(\int\limits_^ f(x, y)\ dx\) сходится равномерно по параметру \(y\) на множестве \(Y\). \(\bullet\)

Применяя правило построения отрицания, получаем из критерия Коши полезное следствие.

Если существует \(\varepsilon_ <0>> 0\) такое, что для любого \(b’ \in [a, b)\) существуют \(\xi_<0>, \xi’_ <0>\in [b’, b)\) и существует \(y_ <0>\in Y\) такие, что
$$
\left|\int\limits_<\xi_<0>>^<\xi’_<0>> f(x, y_<0>)\ dx\right| \geq \varepsilon_<0>,
$$
то интеграл \(\displaystyle\int\limits_^ f(x, y)\ dx\) не сходится равномерно по параметру \(y\) на множестве \(Y\).

Интеграл
$$
\int\limits_<0>^ <+\infty>e^<-\alpha x^<2>>\ dx\label
$$
сходится равномерно по параметру \(\alpha\) на множестве \([\alpha_<0>, +\infty)\), \(\alpha_ <0>> 0\), и сходится неравномерно на множестве \((0, +\infty)\).

\(\vartriangle\) Пусть \(\alpha \geq \alpha_ <0>> 0\). Так как \(e^<-\alpha x^<2>> \leq e^ <-\alpha_<0>x^<2>>\) и \(\displaystyle\int\limits_<0>^ <+\infty>e^<-\alpha x^<2>>\ dx\) сходится, то по признаку Вейерштрасса интеграл \eqref сходится равномерно по параметру \(\alpha\) на множестве \([\alpha_<0>, +\infty)\).

Пусть теперь \(\alpha \in (0, +\infty)\). Покажем, что на \((0, +\infty)\) интеграл \eqref сходится неравномерно. Воспользуемся следствием из критерия Коши. Возьмем \(\varepsilon_ <0>= e^<-1>\), для любого \(b > 0\) возьмем \(\xi_ <0>= b\), \(\xi’_ <0>= b+1\), \(\alpha_ <0>= 1/(b+1)^<2>\). Тогда
$$
\int\limits_<\xi_<0>>^<\xi’_<0>> e^ <-\alpha_<0>x^<2>>\ dx = \int\limits_^ e^ <-\alpha_<0>x^<2>>\ dx \geq e^ <-\alpha_<0>(b+1)^<2>> \int\limits_^ dx = e^ <-1>= \varepsilon_<0>\nonumber
$$
и, следовательно, интеграл \eqref сходится неравномерно по параметру \(\alpha\) на множестве \((0, +\infty)\). \(\blacktriangle\)

Непрерывность, интегрируемость и дифференцируемость несобственного интеграла по параметру.

\(\vartriangle\) Если функцию \(\displaystyle\frac<\sin x>\) доопределить при \(x = 0\) по непрерывности, считая, что при \(x = 0\) функция \(\frac<\sin x>\) принимает значение, равное единице, то подынтегральная функция интеграла \eqref будет непрерывной на множестве \(\<(x, y): x \geq 0, y \geq 0\>\).

При рассмотрении примера 4 было показано, что интеграл \eqref сходится равномерно по параметру \(y\) на множестве \([0, +\infty)\). В силу теоремы 4 интеграл \eqref есть непрерывная функция параметра \(y\) на любом отрезке \([0, b]\). В частности, эта функция непрерывна при \(y = 0\), поэтому должно быть выполнено равенство \eqref. \(\blacktriangle\)

(Теорема о перестановке порядка интегрирования).

\(\vartriangle\) Воспользуемся известной формулой
$$
\int\limits_<0>^ <+\infty>e^ <-xy>\sin x\ dx = \frac<1><1+y^<2>>,\ y > 0.\label
$$

Интеграл \eqref сходится равномерно по параметру \(y\) на любом отрезке \([\delta, N]\), где \(\delta > 0\). Это следует из признака Вейерштрасса равномерной сходимости, так как
$$
|e^ <-xy>\sin x\ dx| \leq e^<-\delta x>,\quad \int\limits_<0>^ <+\infty>e^<-\delta x>\ dx = \frac<1><\delta>.\nonumber
$$
Применяя теорему 5 и интегрируя равенство \eqref, получаем
$$
\operatorname N-\operatorname \delta = \int\limits_<0>^<+\infty>\ dx \int\limits_<\delta>^ e^ <-xy>\sin x\ dy = \int\limits_<0>^ <+\infty>\dfrac-e^<-Nx>> \sin x\ dx.\label
$$

Так как \(|\sin x| \leq x\) при \(x \geq 0\), то
$$
\left|\int\limits_<0>^ <+\infty>\dfrac\sin x>\ dx\right| \leq \int\limits_<0>^ <+\infty>e^<-Nx>\ dx = \frac<1>.\nonumber
$$
Переходя к пределу при \(N \rightarrow +\infty\) в равенстве \eqref, получаем
$$
\frac<\pi><2>-\operatorname \delta = \int\limits_<0>^ <+\infty>e^ <-\delta x>\frac<\sin x>\ dx.
$$
Воспользовавшись равенством \eqref и переходя к пределу при \(\delta \rightarrow +0\), получаем выражение \eqref для интеграла Дирихле. \(\blacktriangle\)

(Теорема о дифференцировании несобственного интеграла по параметру).

Пусть функции \(f(x, y)\) и \(f_(x, y)\) непрерывны на множестве \(\<(x, y):\ a\leq x Доказательство.

\(\circ\) Пусть \(c \leq y \leq d\). Рассмотрим интеграл \(\displaystyle\int\limits_^ f_(x, \eta)\ dx\) при \(\eta \in [c, y]\).

Покажем, что \(C_ <2>= 0\). Так как
$$
|I_<1>(y)| = \left|\int\limits_<0>^ <+\infty>\frac<\cos xy><1+x^<2>>\ dx\right| \leq \int\limits_<0>^ <+\infty>\frac<|\cos xy|><1+x^<2>>\ dx \leq \int\limits_<0>^ <+\infty>\frac<1+x^<2>> = \frac<\pi><2>,\nonumber
$$
то \(I_<1>(y)\) есть ограниченная функция на \([\delta, +\infty)\). Так как \(e^\) — неограниченная функция на \([\delta, +\infty)\), то в формуле \eqref нужно принять \(C_ <2>= 0\).

Читайте также:  Первые признаки целлюлита фото

Замечая, что интеграл Лапласа \(I_<1>(y)\) есть четная функция на \((-\infty, +\infty)\), а интеграл \(I_<2>(y)\) есть нечетная функция на \((-\infty, +\infty)\), перепишем равенство \eqref в следующем виде:
$$
I_<1>(y) = C_<1>e^<-|y|>,\ I_<2>(y) = C_<1>\ \operatorname\ ye^<-|y|>\ \mbox<при>\ y \neq 0.\label
$$

Для определения произвольной постоянной \(C_<1>\) воспользуемся тем, что интеграл Лапласа \(I_<1>(y)\) сходится равномерно по параметру \(y\) на \((-\infty, +\infty)\) (пример 3). Поэтому \(I_<1>(y)\) есть непрерывная функция в точке \(y = 0\). Следовательно,
$$
\frac<\pi> <2>= \int\limits_<0>^ <+\infty>\frac<1+x^<2>> = I_<1>(0) = \lim_ I_<1>(y) = \lim_ C_<1>e^ <-y>= C_<1>.\nonumber
$$
Теперь формулы \eqref дают, что при любом \(y \in \boldsymbol\)
$$
\int\limits_<0>^ <+\infty>\frac<\cos xy><1+x^<2>>\ dx = \frac<\pi><2>e^<-|y|>,\\ \int\limits_<0>^ <+\infty>\frac<1+x^<2>>\ dx = \frac<\pi><2>\ \operatorname\ ye^<-|y|>.\label
$$
То, что формулы \eqref справедливы при \(y = 0\), проверяется непосредственно. \(\blacktriangle\)

Перестановка порядка интегрирования в том случае, когда оба интеграла несобственные.

В теореме 5 была обоснована перестановка порядка интегрирования, когда внутренний интеграл несобственный, а внешний собственный. Сложнее обосновывать перестановку порядка интегрирования, когда оба интеграла несобственные.

Пусть функция \(f(x, y)\) непрерывна на множестве \(\<(x, y): a \leq x \leq b,\ c \leq y \leq d\>\) и выполнены следующие условия:

Теоремы 4-7 остаются справедливыми и при замене функции \(f(x, y)\) на функцию \(\psi(x)f(x, y)\), где функция \(\psi(x)\) интегрируема по Риману на любом отрезке, лежащем в интервале \((a, b)\).

Если \(f(x, y) = \varphi(x, y)+i\psi(x, y)\) есть комплекснозначная функция, то
$$
|\varphi(x, y)| \leq |f(x, y)|,\ |\psi(x, y)| \leq |f(x, y)|.\nonumber
$$

Все условия теоремы будут выполнены и для функций \(\varphi(x, y)\) и \(\psi(x, y)\), если \(f(x, y)\) удовлетворяет условиям теоремы 7. Поэтому оба повторных интеграла от каждой из этих функций существуют и равны. Следовательно, существуют и равны повторные интегралы от функции \(f(x, y)\).

Вычислить интеграл Эйлера-Пуассона (интеграл вероятностей)
$$
I = \int\limits_<0>^ <+\infty>e^<-t^<2>> dt.\nonumber
$$

Для обоснования законности изменения порядка интегрирования применим теорему 7. Интеграл \(\displaystyle\int\limits_<0>^ <+\infty>ye^<-y^<2>(1+x^<2>)> dx\) сходится равномерно по параметру \(y\) на любом отрезке \([c, d] \subset (0, +\infty)\) по признаку Вейерштрасса, так как \(|ye^<-y^<2>(1+x^<2>)>| \leq de^<-c^<2>(1+x^<2>)>\) а интеграл \(\displaystyle\int\limits_<0>^ <+\infty>de^<-c^<2>(1+x^<2>)> dx\) сходится.

Аналогично доказывается, что интеграл \(\displaystyle\int\limits_<0>^ <+\infty>ye^<-y^<2>(1+x^<2>)> dx\) сходится равномерно по параметру \(x\) на любом отрезке \([a, b] \subset (0, +\infty)\). Повторный интеграл \(\int\limits_<0>^ <+\infty>ye^<-y^<2>(1+x^<2>)> dx\) сходится в силу равенства \eqref.

Вычислить интегралы Френеля
$$
J_ <1>= \int\limits_<0>^ <+\infty>\sin x^<2>\ dx,\ J_ <2>= \int\limits_<0>^ <+\infty>\cos x^<2>\ dx.
$$

При написании формул \eqref использована равномерная сходимость несобственных интегралов в правых частях равенств \eqref по параметру \(k\) при \(k \geq 0\) (признак Дирихле).

Изменение порядка интегрирования при \(k > 0\) обосновывается при помощи теоремы 7, предельный переход при \(k \rightarrow +0\) под знаком интеграла возможен в силу его равномерной сходимости по параметру \(k\) при \(k \in [0, +\infty)\) (признак Вейерштрасса). Интегралы \(\displaystyle\int\limits_<0>^ <+\infty>\frac<1+x^<4>>\) и \(\displaystyle\int\limits_<0>^ <+\infty>\fracdx><1+x^<4>>\) вычислены нами ранее (примеры здесь и здесь). \(\blacktriangle\)

Источник

Несобственные интегралы

Определение несобственных интегралов.

Интеграл Римана был введен для ограниченных на отрезке функций. Естественно поставить вопрос о распространении понятия интеграла на случай бесконечного промежутка, а также на случай, когда подынтегральная функция является неограниченной.

Интеграл на бесконечном промежутке.

Рассмотрим функцию \(\displaystyle\frac<1><1+x^<2>>\). Эта функция непрерывна на отрезке \([0,\xi]\) при любом \(\xi \geq 0\), и поэтому существует интеграл \(J(\xi) = \displaystyle\int\limits_0^ <\xi>\frac<1+x^<2>> = \operatorname \xi\), откуда следует, что \(\displaystyle\lim_ <\xi \rightarrow \infty>J(\xi) = \frac<\pi><2>\). В этом случае пишут \(\displaystyle\int\limits_0^ <+\infty>\frac<1+x^<2>> = \frac<\pi><2>\), а символ \(\displaystyle\int\limits_0^ <+\infty>\frac<1+x^<2>>\) называют несобственным интегралом от функции \(\displaystyle\frac<1><1+x^<2>>\) на бесконечном промежутке \([0, +\infty)\).

Число \(\displaystyle\frac<\pi><2>\) — можно интерпретировать как площадь фигуры, ограниченной графиком функции \(y = \displaystyle\frac<1><1+x^<2>>,\ x \geq 0\), и координатными осями (рис. 38.1).

Рис. 38.1

Рассмотрим несобственный интеграл на бесконечном промежутке от функции \(f\).

Пусть функция \(f(x)\) определена при \(x \geq a\), где \(a\) — заданное число, и интегрируема на отрезке \([a,\xi]\) при любом \(\xi \geq a\). Тогда символ \(\displaystyle\int\limits_a^ <+\infty>f(x)\ dx\) будем называть несобственным интегралом от функции \(f\) на промежутке \([0, +\infty)\). Если существует конечный \(\displaystyle\lim_ <\xi \rightarrow +\infty>\int\limits_a^ <+\infty>f(x)\ dx = A\), то говорят, что несобственный интеграл \(\displaystyle\int\limits_a^ <+\infty>f(x)\ dx\) сходится и равен \(A\), а функцию \(f\) называют интегрируемой в несобственном смысле на промежутке \([a, +\infty)\). Таким образом, сходящийся несобственный интеграл от функции \(f\) на промежутке \([a, +\infty)\) определяется равенством
$$
\int\limits_a^ <+\infty>f(x)\ dx = \lim_ <\xi \rightarrow +\infty>\int\limits_a^ <\xi>f(x)\ dx.\label
$$

Если функция \(\displaystyle\int\limits_a^ <\xi>f(x)\ dx\) не имеет конечного предела при \(\xi \rightarrow +\infty\), то говорят, что несобственный интеграл \(\displaystyle\int\limits_a^ <+\infty>f(x)\ dx\) расходится.

Сходимость интеграла \eqref равносильна сходимости интеграла \(\displaystyle\int\limits_c^ <+\infty>f(x)\ dx\), где \(c\) — любое число из промежутка \((a, +\infty)\), так как
$$
\int\limits_a^ <\xi>f(x)\ dx = \int\limits_a^c f(x)\ dx+\int\limits_c^ <\xi>f(x)\ dx.\nonumber
$$

Показать, что интеграл \(J = \displaystyle\int\limits_<-\infty>^0 xe^<-x^<2>>\ dx\) сходится, и вычислить этот интеграл.

Показать, что интеграл \(J = \int\limits_<-\infty>^ <+\infty>\frac<1+x+x^<2>>\) сходится, и вычислить этот интеграл.

Исследовать на сходимость интеграл
$$
J(\alpha) = \int\limits_1^ <+\infty>\frac>.\label
$$

Интеграл на конечном промежутке.

Рис. 38.2

Обратимся к несобственному интегралу на конечном промежутке.

Пусть функция \(f(x)\) определена на конечном промежутке \([a, b)\), интегрируема на отрезке \([a, \xi]\) при любом \(\xi \in [a, b)\).

Если существует конечный \(\displaystyle\lim_ <\xi \rightarrow b-0>\int\limits_a^ <\xi>f(x)\ dx = A\), то говорят, что несобственный интеграл от функции \(f(x)\) на промежутке \([a, b)\) равен \(A\). Его обозначают символом \(\displaystyle\int\limits_a^b f(x)\ dx\). Таким образом, по определению
$$
\int\limits_a^b f(x)\ dx = \lim_ <\xi \rightarrow b-0>\int\limits_a^ <\xi>f(x)\ dx.\label
$$

В случае существования конечного предела \eqref несобственный интеграл \(\displaystyle\int\limits_a^b f(x)\ dx\) называют сходящимся, в противном случае — расходящимся; символ \(\int\limits_a^b f(x)\ dx\) употребляют как в случае сходимости, так и в случае расходимости интеграла.

Аналогично, если функция \(f(x)\) определена на конечном промежутке \((a, b]\), интегрируема на отрезке \([\xi, b]\) при любом \(\xi \in (a, b]\), то символ \(\displaystyle\int\limits_a^b f(x)\ dx\) называют несобственным интегралом от функции \(f\) на промежутке \((a, b]\).

Если существует конечный \(\displaystyle\lim_ <\xi \rightarrow a+0>\int\limits_<\xi>^b f(x)\ dx = A\), то говорят, что несобственный интеграл сходится и равен \(A\), то есть
$$
\int\limits_a^b f(x)\ dx = \lim_ <\xi \rightarrow a+0>\int\limits_<\xi>^b f(x)\ dx.\label
$$

Если функция \(\displaystyle\int\limits_<\xi>^b f(x)\ dx\) не имеет конечного предела при \(\xi \rightarrow a+0\), то несобственный интеграл называют расходящимся.

Определение \eqref несобственного интеграла на конечном промежутке \([a, b)\) является содержательным лишь в случае, когда функция \(f\) неограничена на интервале \((b-\delta, b)\) при любом \(\delta > 0\). В самом деле, если функция \(f\) интегрируема на отрезке \([a, \xi]\) при любом \(\xi \in [a, b)\) и ограничена на \([a, b)\), то, доопределив эту функцию в точке \(b\), получим функцию, которая интегрируема по Риману на отрезке \([a, b]\). При этом интеграл от доопределенной функции равен пределу \eqref и не зависит от значения функции в точке \(b\).

Поэтому в дальнейшем, рассматривая несобственный интеграл \eqref, будем считать, что функция \(f\) является неограниченной на интервале \((b-\delta, b)\) при любом \(\delta > 0\), а точку \(b\) будем называть иногда особой точкой подынтегральной функции \(f\) или интеграла \eqref.

Читайте также:  Подмножество объектов имеющих общие признаки это

Аналогично, рассматривая несобственный интеграл \eqref, будем считать, что \(a\) — особая точка функции \(f\), то есть предполагать, что функция \(f\) неограничена на интервале \((a, a+\delta)\) при любом \(\delta > 0\).

Исследовать на сходимость интеграл
$$
J = \int\limits_0^1 \frac>.\nonumber
$$

\(\vartriangle\) Обозначим \(F(\xi) = \displaystyle\int\limits_<\xi>^ <1>\frac>\), тогда
$$
F(\xi) = \left\<\begin
\frac<1><1-\alpha>(1-\xi^<1-\alpha>),\ \mbox<если>\ \alpha \neq 1 \\
-\ln \xi,\ \mbox<если>\ \alpha = 1.
\end \right.\nonumber
$$
Поэтому при \(\alpha Замечание 3.

Сходимость несобственного интеграла \eqref равносильна сходимости интеграла \(\displaystyle\int\limits_c^b f(x)\ dx\) при любом \(c \in (a, b)\), так как \(\displaystyle\int\limits_a^ <\xi>f(x)\ dx = \int\limits_a^c f(x)\ dx+\int\limits_c^ <\xi>f(x)\ dx\).

Другие типы несобственных интегралов.

Если функция \(f\) определена на конечном интервале \((a, b)\), интегрируема по Риману на отрезке \([\xi, \eta]\) при любых \(\xi,\ \eta\) таких, что \(a

Свойства и вычисление несобственных интегралов.

Будем рассматривать несобственные интегралы вида \(\displaystyle\int\limits_a^b f(x)\ dx\) предполагая, что:

Согласно определению сходящегося несобственного интеграла
$$
\int\limits_a^b f(x)\ dx = \lim_ <\xi \rightarrow b-0>\int\limits_a^ <\xi>f(x)\ dx,\ \mbox<если>\ b \neq +\infty,\nonumber
$$
$$
\int\limits_a^ <+\infty>f(x)\ dx = \lim_ <\xi \rightarrow +\infty>\int\limits_a^ <\xi>f(x)\ dx\ \mbox<если>\ b = +\infty.\nonumber
$$

Линейность интеграла.

Если сходятся несобственные интегралы от функций \(f(x)\) и \(g(x)\) на промежутке \([a, b)\), то при любых \(\lambda, \mu \in \mathbb\) сходится интеграл от функции \(\lambda f(x)+\mu g(x)\) на том же промежутке и выполняется равенство
$$
\int\limits_a^ <\xi>(\lambda f(x)+\mu g(x))\ dx = \lambda \int\limits_a^ <\xi>f(x)\ dx+\mu \int\limits_a^ <\xi>f(x)\ dx,\label
$$

\(\circ\) Для любого \(\xi \in [a, b)\) в силу свойств интеграла Римана справедливо равенство
$$
\int\limits_a^ <\xi>(\lambda f(x)+\mu g(x))\ dx = \lambda \int\limits_a^ <\xi>f(x)\ dx+\mu \int\limits_a^ <\xi>f(x)\ dx,\nonumber
$$
правая часть которого имеет по условию конечный предел при \(\xi \rightarrow b-0\), откуда следует существование предела при \(\xi \rightarrow b-0\) в левой части и справедливость формулы \eqref. \(\bullet\)

Формула Ньютона-Лейбница.

Если функция \(f(x)\) непрерывна на промежутке \([a, b)\) и если \(F(x)\) — первообразная для функции \(f(x)\), то несобственный интеграл \(\displaystyle\int\limits_a^b f(x)\ dx\) сходится тогда и только тогда, когда существует конечный
$$
\lim_ <\xi \rightarrow b-0>F(\xi) = F(b-0),\label
$$
причем
$$
\int\limits_a^b f(x)\ dx = F(b-0)-F(a).\label
$$

\(\circ\) Так как функция \(f\) непрерывна на отрезке \([a, \xi]\) при любом \(\xi \in [a, b)\), то справедлива формула Ньютона-Лейбница
$$
\int\limits_a^ <\xi>f(x)\ dx = F(\xi)-F(a),\nonumber
$$
откуда, переходя к пределу при \(\xi \rightarrow b-0\) и используя соотношение \eqref, получаем формулу \eqref, которую называют формулой Ньютона Лейбница для несобственного интеграла.
Правую часть формулы \eqref часто записывают в виде \(\displaystyle\left.F(x)\right|_^\), если \(b \neq +\infty\). Если \(b = +\infty\), то правую часть формулы \eqref записывают в виде \(\displaystyle\left.F(x)\right|_^<+\infty>\). \(\bullet\)

Интегрирование по частям.

Пусть функции \(u(x)\), \(v(x)\) определены на промежутке \([a, b)\), имеют непрерывные производные на отрезке \([a, \xi]\) для любого \(\xi \in (a, b)\). Если существует конечный предел
$$
\lim_ <\xi \rightarrow b-0>[u(\xi)v(\xi)] = u(b-0)v(b-0) = uv|_<\xi = b-0>,\label
$$
и интеграл \(\displaystyle\int\limits_a^b vu’\ dx\) сходится, то и интеграл \(\displaystyle\int\limits_a^b uv’\ dx\) сходится и справедлива формула интегрирования по частям
$$
\int\limits_a^b uv’\ dx = uv|_^-\int\limits_a^b vu’\ dx.\label
$$

\(\circ\)Так как функции \(u'(x)\), \(v'(x)\) непрерывны на отрезке \([a, \xi]\) при любом \(\xi \in (a, b)\), то справедлива формула интегрирования по частям
$$
\int\limits_a^ <\xi>uv’\ dx = u(\xi)v(\xi)-u(a)v(a)-\int\limits_a^ <\xi>vu’\ dx.\label
$$
Правая часть равенства \eqref по условию имеет при \(\xi \rightarrow b-0\) конечный предел, равный правой части формулы \eqref. Следовательно, существует конечный предел и в левой части \eqref, то есть сходится интеграл \(\displaystyle\int\limits_a^b uv’\ dx\), и при этом справедлива формула \eqref.

Отметим, что при наличии конечного предела \eqref несобственные интегралы \(\displaystyle\int\limits_a^b vu’\ dx\) и \(\displaystyle\int\limits_a^b uv’\ dx\) сходятся или расходятся одновременно. \(\bullet\)

Вычислить несобственный интеграл \(J = \displaystyle\int\limits_0^ <+\infty>xe^<-x>\ dx\).

Замена переменного.

Если функция \(f(x)\) непрерывна на промежутке \([a, b)\), а функция \(x = \varphi(t)\) непрерывно дифференцируема на промежутке \([\alpha, \beta)\), строго возрастает и удовлетворяет условиям \(\displaystyle\varphi(\alpha) = a,\ \lim_ \varphi(t) = b\), то справедлива формула замены переменного
$$
\int\limits_a^b f(x)\ dx = \int\limits_<\alpha>^ <\beta>f(\varphi(t))\varphi'(t)\ dt.\label
$$
при условии, что хотя бы один из интегралов в \eqref сходится.

\(\circ\) Пусть \(\tau \in [\alpha, \beta),\ \varphi(\tau) = \xi\). Тогда \(\varphi(\tau) \rightarrow b\) при \(\tau \rightarrow \beta-0\). Применяя формулу замены переменного для интеграла Римана, получаем
$$
\int\limits_a^ <\xi>f(x)\ dx = \int\limits_<\alpha>^ <\tau>f(\varphi(t))\varphi'(t)\ dt.\label
$$
Так как функция \(x = \varphi(t)\) строго возрастает и непрерывна на \([\alpha, \beta)\), то обратная функция строго возрастает и непрерывна на \([a, b)\). Поэтому если существует конечный предел при \(\tau \rightarrow \beta-0\) правой части равенства \eqref, то существует конечный предел при \(\xi \rightarrow b\) в левой части (и наоборот), и при этом справедлива формула \eqref. \(\bullet\)

Вычислить интеграл \(J = \displaystyle\int\limits_0^ <+\infty>\frac<(x^<2>+1)^<3>>\).

\(\vartriangle\) Положим \(x = \operatorname t\), где \(0 Пример 8.

Вычислить интеграл \(J = \displaystyle\int\limits_0^ <+\infty>\frac+1><(x^<4>+1)>\ dx\).

\(\vartriangle\) Преобразуем интеграл \(J = \displaystyle\int\limits_0^ <+\infty>\frac<(1+1/x^<2>)dx><(x-1/x)^<2>+2>\ dx\) и положим \(\displaystyle x-\frac<1> = t\); тогда
$$
J = \int\limits_<-\infty>^<+\infty>\frac

+2> = \left.\frac<1><\sqrt<2>> \operatorname \frac<\sqrt<2>>\right|_<-\infty>^ <+\infty>= \frac<\pi><2>.\ \blacktriangle\nonumber
$$

Вычислить интеграл \(J = \displaystyle\int\limits_0^ <+\infty>\frac+1>\).

Таким образом, \(J_ <1>= \displaystyle\int\limits_0^ <+\infty>\frac+1> = \int\limits_0^ <+\infty>\frac><1+x^<4>> dx\), откуда, используя пример 8, находим J\(J_ <1>= \displaystyle\frac<1> <2>\int\limits_0^ <+\infty>\frac+1><(x^<4>+1)>\ dx = \frac<1><2>J = \frac<\pi><2\sqrt<2>>\) Итак, \(\displaystyle\int\limits_0^ <+\infty>\frac+1> = \frac<\pi><2\sqrt<2>>\). \(\blacktriangle\)

Интегрирование неравенств.

Если сходятся интегралы \(\displaystyle\int\limits_a^b f(x)\ dx\) и \(\displaystyle\int\limits_a^b g(x)\ dx\) и для всех \(x \in [a, b)\) выполняется неравенство
$$
f(x) \leq g(x),\nonumber
$$
то
$$
\int\limits_a^b f(x)\ dx \leq \int\limits_a^b g(x)\ dx.\label
$$

\(\circ\) Неравенство \eqref получается из неравенства
$$
\int\limits_a^ <\xi>f(x)\ dx \leq \int\limits_a^ <\xi>g(x)\ dx,\quad a \leq \xi \leq b,\nonumber
$$
с помощью перехода к пределу при \(\xi \rightarrow b-0\). \(\bullet\)

Несобственные интегралы от неотрицательных функций.

Будем рассматривать несобственные интегралы вида \(\displaystyle\int\limits_a^b f(x)\ dx\) предполагая, что:

Согласно определению сходящегося несобственного интеграла
$$
\int\limits_a^b f(x)\ dx = \lim_ <\xi \rightarrow b-0>\int\limits_a^ <\xi>f(x)\ dx,\ \mbox<если>\ b \neq +\infty,\nonumber
$$
$$
\int\limits_a^ <+\infty>f(x)\ dx = \lim_ <\xi \rightarrow +\infty>\int\limits_a^ <\xi>f(x)\ dx\ \mbox<если>\ b = +\infty.\nonumber
$$

Если для всех \(x \in [a, b)\) выполняется неравенство
$$
f(x) \geq 0,\label
$$
то для сходимости несобственного интеграла \(\displaystyle\int\limits_a^b f(x)\ dx\) необходимо и достаточно, чтобы функция \(\int\limits_a^ <\xi>f(x)\ dx\) была ограничена сверху, то есть
$$
\exists\ C: \forall \xi \in [a,b) \rightarrow \int\limits_a^ <\xi>f(x)\ dx \leq C.\label
$$

\(\circ\) Заметим, что \(F(\xi) = \displaystyle\int\limits_a^ <\xi>f(x)\ dx\) — возрастающая функция. В самом деле, из условия \eqref и свойств интеграла Римана следует, что
$$
\forall\ \xi_<1>,\ \xi_ <2>\in [a, b): \xi_ <2>> \xi_ <1>\rightarrow F(\xi_<2>)-F(\xi_<1>) = \int\limits_<\xi_<1>>^<\xi_<2>> f(x)\ dx \geq 0.\nonumber
$$

Если интеграл \(\displaystyle\int\limits_a^b f(x)\ dx\) сходится, то есть существует конечный \(\displaystyle\lim_ <\xi \rightarrow b-0>F(\xi) = \int\limits_a^b f(x)\ dx = J\), то по теореме о пределе монотонной функции \(J = \sup_ F(\xi)\), откуда согласно определению точной верхней грани следует, что для всех \(\xi \in [a, b)\) справедливо неравенство
$$
\int\limits_a^ <\xi>f(x)\ dx \leq \int\limits_a^b f(x)\ dx,\nonumber
$$
то есть выполняется условие \eqref.

Обратно: если выполняется условие \eqref, то в силу теоремы о пределе монотонной функции (\(F\) — возрастающая функция) существует конечный
$$
\lim_ <\xi \rightarrow b-0>F(\xi) = F(b-0) = \sup_
F(\xi),\nonumber
$$
то есть интеграл \(\displaystyle\int\limits_a^b f(x)\ dx\) сходится. \(\bullet\)

Если для всех \(x \in [a, b)\) выполняется условие
$$
0 \leq f(x) \leq g(x),\label
$$
то:

Читайте также:  Отек лица это признак

Исследовать на сходимость интеграл
$$
\int\limits_1^ <+\infty>\frac <\cos^<4>3x><\sqrt[5]<1+x^<6>>>dx.\nonumber
$$

\(\vartriangle\) Так как \(\displaystyle0 \leq \frac <\cos^<4>3x><\sqrt[5]<1+x^<6>>> \leq \frac<1>>\) при \(x \geq 1\), то по теореме сравнения из сходимости интеграла \(\displaystyle\int\limits_1^ <+\infty>\frac>\) (мы уже исследовали этот интеграл на сходимость здесь) следует сходимость интеграла \(J\). \(\blacktriangle\)

Если для всех \(x \in [a, b)\) выполняются условия
$$
f(x) > 0,\qquad g(x) > 0,\label
$$
и, кроме того,
$$
f(x)

g(x)\ \mbox<при>\ x \rightarrow b-0,\label
$$
то интегралы \(J_ <1>= \displaystyle\int\limits_a^b f(x)\ dx\) и \(J_ <2>= \displaystyle\int\limits_a^b g(x)\ dx\) сходятся или расходятся одновременно.

\(\circ\) Если выполнены условия \eqref и \eqref, то \(\displaystyle\lim_ <\xi \rightarrow b-0>\frac = 1\), то есть
$$
\forall \varepsilon > 0\ \exists \delta (\varepsilon) \in [a, b): \forall x \in [\delta (\varepsilon), b) \rightarrow \left|\frac-1\right| 0\) равносильно неравенству
$$
\frac<1><2>g(x) 1\) и расходится при \(\alpha \leq 1\).

Исследовать на сходимость интеграл
$$
J = \int\limits_>^ <+\infty>\frac<\ln (e^-x)>>\ dx.\nonumber
$$

\(\vartriangle\) Подынтегральная функция \(f(x) = \displaystyle\frac<\ln (e^-x)>>\) неотрицательна при \(x > 0\), так как \(e^ > 1+x\) при \(x > 0\), и непрерывна на промежутке \((0, +\infty)\). Интеграл \(J\) сходится тогда и только тогда, когда сходятся интегралы \(J_ <1>= \displaystyle\int\limits_0^1 f(x)\ dx\) и \(J_ <2>= \displaystyle\int\limits_1^ <+\infty>f(x)\ dx\).

Таким образом, интеграл \(J\) сходится в том и только том случае, когда выполняются условия \(\alpha 2\), то есть при \(2 Пример 13.

\(\vartriangle\) Подынтегральная функция \(f(x)\) положительна и непрерывна на интервале (0,1). Интеграл \(J\) сходится тогда и только тогда, когда сходятся интегралы от \(f(x)\) по промежуткам (0,1) и (1, \(+\infty\)). Обозначим эти интегралы \(J_<1>\) и \(J_<2>\) соответственно.

Для сходимости несобственного интеграла
$$
J = \int\limits_a^b f(x)\ dx\nonumber
$$
необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие Коши
$$
\forall \varepsilon > 0\ \exists \delta_ <\varepsilon>\in (a, b): \forall \xi’, \xi″ \in (\delta_<\varepsilon>, b) \rightarrow \left|\int\limits_<\xi’>^ <\xi″>f(x)\ dx\right| Доказательство.

\(\circ\) Обозначим
$$
F(\xi) = \int\limits_a^ <\xi>f(x)\ dx,\ a \leq \xi 0\ \exists \tilde<\delta>_ <\varepsilon>\in (a, b): \forall \xi’, \xi″ \in (\tilde<\delta>_<\varepsilon>, b) \rightarrow \left|F(\xi″)-F(\xi’)\right| Замечание 5.

Если условие Коши \eqref не выполняется, то есть
$$
\exists \varepsilon_ <0>> 0\ \forall \delta_ <\varepsilon>\in (a, b): \exists \xi_<\delta>’, \xi_<\delta>″ \in (\delta_<\varepsilon>, b) \rightarrow \left|\int\limits_<\xi_<\delta>’>^<\xi_<\delta>″> f(x)\ dx\right| \geq \varepsilon_<0>,\label
$$
то интеграл \(\displaystyle\int\limits_a^b f(x)\ dx\) расходится.

Исследовать на сходимость интеграл
$$
J(\alpha) = \int\limits_1^ <+\infty>\frac <\sin^<2>x>>\ dx.\label
$$

Так как \(|\sin x| \geq \sin^ <2>x\), то по теореме сравнения из расходимости интеграла \eqref при \(\alpha \leq 1\) следует, что интеграл \(\displaystyle\int\limits_1^ <+\infty>\frac <\sin^<2>x>>\ dx\) расходится при \(\alpha \leq 1\).

Абсолютно и условно сходящиеся интегралы.

Несобственный интеграл \(J = \displaystyle\int\limits_a^b f(x)\ dx\) называется:

Если несобственный интеграл \(\tilde = \displaystyle\int\limits_a^b |f(x)|\ dx\) сходится, то интеграл \(J = \displaystyle\int\limits_a^b f(x)\ dx\) также сходится и выполняется неравенство
$$
\left|\int\limits_a^b f(x)\ dx\right| \leq \int\limits_a^b |f(x)|\ dx.\label
$$

\(\circ\) Из сходимости интеграла \(\tilde\) по теореме 3 (необходимое условие) следует, что для него выполняется условие Коши \eqref, то есть
$$
\forall \varepsilon > 0\ \exists \delta_ <\varepsilon>\in (a, b): \forall \xi’, \xi″ \in (\delta_<\varepsilon>, b) \rightarrow \left|\int\limits_<\xi’>^ <\xi″>|f(x)|\ dx\right| Пример 15.

Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость интеграл
$$
J(\alpha) = \int\limits_1^ <+\infty>\frac<\sin x>>\ dx.\label
$$

Итак, интеграл \eqref:

Аналогично можно показать, что интеграл
$$
\int\limits_1^ <+\infty>\frac<\cos x>>\ dx\nonumber
$$
абсолютно сходится при \(\alpha > 1\), условно сходится при \(\alpha \in \) (0,1] и расходится при \(\alpha \leq 0\).

При исследовании сходимости интегралов часто может оказаться полезным следующее утверждение.

Если функция \(g(x)\) абсолютно интегрируема на промежутке \([a, b)\), то есть несобственный интеграл \(\tilde = \displaystyle\int\limits_a^b |g(x)|\ dx\) сходится, то несобственные интегралы \(J_ <1>= \displaystyle\int\limits_a^b f(x)\ dx\) и \(J_ <2>= \displaystyle\int\limits_a^b (f(x)+g(x))\ dx\) либо оба абсолютно сходятся, либо оба условно сходятся, либо оба расходятся.

\(\circ\) Обозначим \(J = \displaystyle\int\limits_a^b g(x)\ dx\), \(\tilde_ <1>= \displaystyle\int\limits_a^b |f(x)|\ dx\), \(\tilde_ <2>= \displaystyle\int\limits_a^b |(f(x)+g(x))|\ dx\)

Теорему 5 коротко можно сформулировать так: прибавление (вычитание) под знаком интеграла абсолютно интегрируемой функции не влияет ни на сходимость интеграла, ни на характер сходимости (абсолютная, условная сходимость).

Признаки Дирихле и Абеля сходимости интегралов.

Пусть функция \(f\) непрерывна, а функция \(g\) имеет непрерывную производную на промежутке \([a, +\infty)\) и выполняются следующие условия:

Тогда интеграл
$$
J = \int\limits_a^ <+\infty>f(x)g(x)\ dx\label
$$
сходится.

Условия \eqref-\eqref означают, что функция \(g(x)\) монотонно стремится к нулю при \(x \rightarrow +\infty\).

Следствие (признак Абеля).

Если функция \(f\) непрерывна на промежутке \(\Delta = [a, +\infty)\), интеграл \(J = \displaystyle\int\limits_a^ <+\infty>f(x)\ dx\) сходится, а функция \(g(x)\) ограничена на \(\Delta\) и ее производная \(g'(x)\) не меняет знака на \(\Delta\) (удовлетворяет условию \eqref или \eqref), то интеграл \eqref сходится.

\(\circ\) По теореме о пределе монотонной функции существует конечный \(\displaystyle\lim_<\substack> g(x) = g(+\infty)\), и поэтому функция \(g_<1>(x) = g(x)-g(+\infty)\) монотонно стремится к нулю при \(x \rightarrow +\infty\). Из сходимости интеграла \(J\) следует, что функция \(f\) имеет ограниченную первообразную. По признаку Дирихле интеграл от функции \(f(x)g_<1>(x)\) по промежутку \(\Delta\) сходится. Так как \(f(x)g(x) = f(x)g(+\infty)+f(x)g_<1>(x)\), то интеграл \eqref сходится. \(\bullet\)

Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость интеграл
$$
J = \int\limits_0^ <+\infty>(e^+x) \cos e^<2x>\ dx.\nonumber
$$

\(\vartriangle\) Положим \(e^ <2x>= t\). Тогда \(x = \displaystyle\frac<1> <2>\ln t\), \(dx = \displaystyle\frac

<2t>\), и поэтому
$$
J = \frac<1> <2>\int\limits_1^ <+\infty>\frac<\cos t><\sqrt>dt+\frac<1> <4>\int\limits_1^ <+\infty>\frac<\ln t> \cos t\ dt.\label
$$

Оба интеграла в формуле \eqref сходятся по признаку Дирихле, так как функция \(\cos t\) имеет ограниченную первообразную \(\displaystyle\left(\left|\int\limits_1^ <\xi>\cos t\ dt\right| \leq 2 \right)\), а функции \(\displaystyle\frac<1><\sqrt>\) и \(\displaystyle\frac<\ln t>\) монотонно стремятся к нулю при \(t \rightarrow +\infty\). Покажем, что \(\tilde = \displaystyle\int\limits_1^ <+\infty>\varphi(t) |\cos t|\ dt\), где \(\varphi(t) = \displaystyle\frac<1><2>\left(\frac<1><\sqrt>+\frac<\ln t><2t>\right)\), расходится. В самом деле, \(\varphi(t) \geq \displaystyle\frac<1><2t>\) при \(t \geq 1\), \(|\cos t| \geq \cos^ <2>t = \displaystyle\frac<1+\cos 2t><2>\), откуда следует неравенство \(\varphi(t)|\cos t| \geq \displaystyle\frac<1+\cos 2t><4t>\). Так как интеграл \(\displaystyle\int\limits_1^ <+\infty>\frac<1+\cos 2t><4t>dt\) расходится (это следует из сходимости по признаку Дирихле интеграла \(\displaystyle\int\limits_1^ <+\infty>\frac<\cos 2t><4t>dt\) и расходимости интеграла \(\displaystyle\int\limits_1^ <+\infty>\frac

<4t>\)), то по теореме сравнения интеграл \(\tilde\) расходится. Таким образом, интеграл \(J\) сходится условно. \(\blacktriangle\)

Исследовать на сходимость интеграл
$$
J = \int\limits_4^ <+\infty>\frac<\sin x><\sqrt-\sin x>dx.\nonumber
$$

\(\vartriangle\) Признак Дирихле применить нельзя, так как \(g(x) = \displaystyle\frac<1><\sqrt-\sin x>\) не является монотонной при \(x \geq 4\). Запишем функцию \(g(x)\) в следующем виде: \(g(x) = \displaystyle\frac<1><\sqrt>\left(1-\frac<\sin x><\sqrt>\right)^<-1>\), где \(\displaystyle\left|\frac<\sin x><\sqrt>\right| \leq \frac<1><2>\), так как \(x \geq 4\). Положим \(\varphi(t) = (1-t)^<-1>\), \(|t| \displaystyle\leq \frac<1><2>\). По формуле Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа получаем
$$
\varphi(t) = 1+t+\frac<\varphi″(\xi)><2!>t^<2>,\nonumber
$$

Отсюда следует, что если \(x \geq 4\), то
$$
\left(1-\frac<\sin x><\sqrt>\right)^ <-1>= 1+\frac<\sin x><\sqrt>+h(x),\nonumber
$$
где \(|h(x)| \leq 2^ <3>\displaystyle\left|\frac<\sin x><\sqrt>\right| \leq \frac<8>\). Поэтому \(\displaystyle\frac<\sin x><\sqrt-\sin x> = \frac<\sin x><\sqrt>+\frac <\sin^<2>x><\sqrt>+\frac<\sin x><\sqrt>h(x)\), где функция \(\psi(x) = \displaystyle\frac<\sin x><\sqrt>h(x)\) не влияет на сходимость интеграла \(J\) (теорема 5), так как \(\psi(x) \leq \displaystyle\frac<8>>\), а интеграл \(\displaystyle\int\limits_4^ <+\infty>\frac<8>>dx\) сходится. Из сходимости интеграла \(\displaystyle\int\limits_4^<+\infty>\frac<\sin x><\sqrt>dx\) (пример 15) и расходимости интеграла \(\displaystyle\int\limits_4^<+\infty>\frac <\sin^<2>x><\sqrt>dx\) (пример 14) следует, что интеграл \(J\) расходится. \(\blacktriangle\)

Источник

Adblock
detector