Предельные признаки сравнения рядов

Предельные признаки сравнения рядов

Пусть даны два ряда и , у которых члены an и bn положительны для всех n. Тогда справедливы следующие предельные признаки:

Так называемый обобщенный гармонический ряд сходится при p > 1 и расходится при 0

Признак Даламбера: Рассмотрим положительный числовой ряд . Если существует предел отношения последующего члена к предыдущему: , то:
а) При ряд сходится. В частности, ряд сходится при .
б) При ряд расходится. В частности, ряд расходится при .
в) При признак не дает ответа. Нужно использовать другой признак. Чаще всего единица получается в том случае, когда признак Даламбера пытаются применить там, где нужно использовать предельный признак сравнения.

Радикальный признак Коши — признак сходимости числового ряда:

Если для числового ряда с неотрицательными членами существует такое число , , что, начиная с некоторого номера, выполняется неравенство , то данный ряд сходится.

Условие радикального признака равносильно следующему:

То есть можно сформулировать радикальный признак сходимости знакоположительного ряда в предельной форме:

Если для ряда , то если ряд сходится, если ряд расходится, если вопрос о сходимости ряда остается открытым.

Доказательство

1. Пусть . Очевидно, что существует такое , что . Поскольку существует предел , то, подставив в определение предела выбранное , получим:

Раскрыв модуль, получаем:

Поскольку , то ряд сходится. Следовательно, по признаку сравнения ряд тоже сходится.

2. Пусть . Очевидно, что существует такое , что . Поскольку существует предел , то, подставив в определение предела выбранное , получим:

Раскрыв модуль, получаем:

Поскольку , то ряд расходится. Следовательно, по признаку сравнения ряд тоже расходится.

Интегральный признак Коши
Пусть f (x) является непрерывной, положительной и монотонно убывающей функцией на промежутке [1, +∞). Тогда ряд сходится, если сходится несобственный интеграл , и расходится, если .
Пример 1
Определить, сходится или расходится ряд . Решение. Используем интегральный признак Коши. Вычислим соответствующий несобственный интеграл: Таким образом, данный ряд расходится.

Определить, сходится или расходится ряд .

Вычислим соответствующий несобственный интеграл:

Таким образом, данный ряд расходится.

34 Знакочередующиеся ряды

Что такое знакочередующийся ряд?Это понятно или почти понятно уже из самого названия. Сразу простейший пример.

Рассмотрим ряд и распишем его подробнее:

А сейчас будет убийственный комментарий. У членов знакочередующегося ряда чередуются знаки: плюс, минус, плюс, минус, плюс, минус и т.д. до бесконечности.

Знакочередование обеспечивает множитель : если чётное, то будет знак «плюс», если нечётное – знак «минус» (как вы помните ещё с урока о числовых последовательностях, эта штуковина называется «мигалкой»). Таким образом, знакочередующийся ряд «опознается» по минус единичке в степени «эн».

Читайте также:  К основным признакам государства относится многопартийность

В практических примерах знакочередование членов ряда может обеспечивать не только множитель , но и его родные братья: , , , …. Например:

Подводным камнем являются «обманки»: , , и т.п. – такие множители не обеспечивают смену знака. Совершенно понятно, что при любом натуральном : , , . Ряды с обманками подсовывают не только особо одаренным студентам, они время от времени возникают «сами собой» в ходе решенияфункциональных рядов.

Как исследовать знакочередующийся ряд на сходимость?Использовать признак Лейбница. Про немецкого гиганта мысли Готфрида Вильгельма Лейбница я рассказывать ничего не хочу, так как помимо математических трудов, он накатал несколько томов по философии. Опасно для мозга.

Признак Лейбница: Если члены знакочередующегося ряда монотонно убывают по модулю, то ряд сходится.

1) Ряд является знакочередующимся.

2) Члены ряда убывают по модулю: . Причём, убывают монотонно.

Если выполненыобаусловия, то ряд сходится.

Что значит «по модулю»? Модуль, как мы помним со школы, «съедает» знак «минус». Вернемся к ряду . Мысленно сотрём ластиком все знаки ипосмотрим на числа. Мы увидим, что каждый следующий член ряда меньше, чем предыдущий. Таким образом, следующие фразы обозначают одно и то же:

– Члены ряда без учёта знака убывают.
– Члены ряда убывают по модулю.
– Члены ряда убывают по абсолютной величине.
Модуль общего члена ряда стремится к нулю:

Теперь немного поговорим про монотонность. Монотонность – это скучное постоянство.

Члены ряда строго монотонно убывают по модулю, если КАЖДЫЙ СЛЕДУЮЩИЙ член рядапо модулю МЕНЬШЕ, чем предыдущий: . Для ряда выполнена строгая монотонность убывания, её можно расписать подробно:

А можно сказать короче: каждый следующий член ряда по модулю меньше, чем предыдущий: .

Члены ряда нестрого монотонно убывают по модулю, если КАЖДЫЙ СЛЕДУЮЩИЙ член ряда по модулю НЕ БОЛЬШЕ предыдущего: . Рассмотрим ряд с факториалом: Здесь имеет место нестрогая монотонность, так как первые два члена ряда одинаковы по модулю. То есть, каждый следующий член ряда по модулю не больше предыдущего: .

В условиях теоремы Лейбница должна выполняться монотонность убывания (неважно, строгая или нестрогая). При этом члены ряда могут даже некоторое время возрастать по модулю, но «хвост» ряда обязательно должен быть монотонно убывающим.

Абсолютная и условная сходимость числового ряда.

Признак Лейбница

Для знакочередующихся рядом действует достаточный признак сходимости Лейбница.
Пусть <an> является числовой последовательностью, такой, что

Источник

Признаки сравнения числовых рядов. Первая часть.

Перед началом работы с этой темой советую посмотреть раздел с терминологией для числовых рядов. Особенно стоит обратить внимание на понятие общего члена ряда и свойства числовых рядов (в частности, нам понадобятся свойства №3 и №4). Если у вас есть сомнения в правильности выбора признака сходимости, советую глянуть тему «Выбор признака сходимости числовых рядов».

Читайте также:  Признаки тоталитарного режима в северной корее

Признаки сравнения применяются для исследования числовых рядов, члены которых неотрицательны, т.е. больше или равны нулю. Такие ряды называются положительными (в части литературы – неотрицательными или знакоположительными). Именно такие ряды мы и станем рассматривать в данной теме.

Первый признак сравнения (или первая теорема сравнения) формулируется следующим образом:

Первый признак сравнения

Упрощённо говоря, если ряд с меньшими членами не имеет суммы (расходится), то и ряд с бо́льшими членами тоже будет расходиться. И это логично, ибо если исходная сумма была бесконечно большой, то после увеличения слагаемых она такой и останется.

Ну, и если ряд с бо́льшими членами имеет сумму (сходится), то и ряд с меньшими членами тоже будет сходиться.

Признак сравнения можно сформулировать также и в иной форме. Обычно говорят, что это второй признак сравнения (или вторая теорема сравнения). Иногда его называют предельным признаком сравнения или признаком сравнения в предельной форме. Формулировка его такова:

Второй признак сравнения

Кроме того, частенько для сравнения используется ряд такого вида:

Как выбрать ряд для сравнения? показать\скрыть

Рассмотрим, как решить нашу задачу с помощью как первого, так и второго признаков сравнения.

Решение с помощью первого признака сравнения

Решение с помощью первого признака сравнения

Решение с помощью второго признака сравнения

Для проверки сходимости заданного ряда с помощью признаков сравнения для начала составим ряд, с которым станем сравнивать. Попробуем отбросить «лишние» элементы числителя и знаменателя точно так же, как это было сделано в примерах №1 и №2. Останется у нас такая дробь:

Решение с помощью первого признака сравнения

Чтобы увеличить данную дробь, для начала увеличим числитель. Если мы отбросим число (-3), то числитель станет больше. А значит и сама дробь увеличится:

Решение с помощью первого признака сравнения

Решение с помощью второго признака сравнения

Ответ: ряд расходится.

Продолжение темы исследования сходимости рядов с помощью признаков сравнения рассмотрим во второй и третьей частях.

Источник

Признак сравнения рядов

Необходимый признак сходимости как первый из специальных признаков, вообще говоря, не даст возможности судить о том, сходится данный ряд или нет. В этом мы убедились, рассматривая в лекции 32 ряд (пример 32.6.). Необходимый признак для него выполняется, но исследование сходимости требует дополнительной проработки. В решении вопросов исследования сходимости данного ряда и других рядов хорошим аппаратом являются так называемые достаточные признаки сходимости. К ним относятся признаки сравнения, Даламбера, радикальный и интегральный Коши.

Читайте также:  Признаки болезни у шиншилл

Рассмотрим их для положительных числовых рядов. Числовой ряд с неотрицательными членами называется положительным (знакоположительным). Заметим, что исследование сходимости отрицательных рядов (рядов с не положительными членами) осуществляется с помощью тех же достаточных признаков. Это связано с тем, что отрицательный ряд переходит в положительный путем умножения его на (-1), что в силу известного свойства (свойство 2 лекции 32), не влияет на сходимость ряда.

Признак сравнения позволяет исследовать положительный ряд на сходимость путем сравнения его с другим («эталонным») рядом, о котором известно, сходится он или нет.

Сформулируем признак без доказательства.

Признак сравнения: Пусть даны два положительных ряда и . Если, начиная с некоторого номера, выполняется неравенство , то

Обратимся к примерам использования признака сравнения для исследования сходимости положительных рядов.

Пример №33.1.

Исследуйте ряд на сходимость, применяя признак сравнения.

Решение:

Сравним данный ряд с рядом геометрической прогрессии , сходимость которого мы установили в примере 32.3. лекции 32. Имеем: . Таким образом, общий член нашего ряда меньше общего члена сходящегося ряда. Следовательно, по признаку сравнения, ряд сходится.

Ответ: сходится.

Пример №33.2.

Исследуйте ряд на сходимость, применяя признак сравнения.

Решение:

Сравним данный ряд с гармоническим рядом , который расходится (лекция 32). Имеем: . Таким образом, общий член нашего ряда больше общего члена расходящегося ряда. Следовательно, по признаку сравнения, ряд расходится.

Ответ: расходится.

Признак сравнения позволяет исследовать сходимость положительных рядов, если удастся сравнить их с «эталонными» рядами, поведение которых в смысле сходимости известно.

В качестве «эталонных» обычно используют следующие ряды:

1. — расходящийся гармонический ряд;

2. , если — расходящийся обобщенный гармонический ряд,

, если — сходящийся обобщенный гармонический ряд;

3. , если — расходящийся ряд геометрической прогрессии,

, если — сходящийся ряд геометрической прогрессии.

Пример №33.3.

Исследуйте ряд на сходимость.

Решение:

Рассмотрим ряд . Поскольку он получается из расходящегося гармонического ряда умножением на 2, то, согласно свойству 2 числовых рядов (лекция 32), он расходится. Сравним исследуемый ряд с рядом . Имеем: , т.е. . Таким образом, общий член исследуемого ряда больше общего члена расходящегося ряда. Следовательно, по признаку сравнения, ряд расходится.

Ответ: расходится.

Эта лекция взята с главной страницы на которой находится курс лекций с теорией и примерами решения по всем разделам высшей математики:

Другие лекции по высшей математике, возможно вам пригодятся:



Откройте сайт на смартфоне, нажмите на кнопку «написать в чат» и чат в whatsapp запустится автоматически.

f9219603113@gmail.com

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.9219603113.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Источник

Adblock
detector