Необходимый признак экстремума доказательство

Экстремумы функции

( ).

Точки локального максимума и минимума называют точками экстремума.

Теорема 1 (необходимый признак экстремума функции). Если точка х является точкой локального максимума (минимума) функции, то производная в этой точке равна нулю или не существует.

Дадим аргументу приращение D x > 0 так, что

Дадим аргументу приращение D x так, что

b ) не существует.

Следствие. В точке экстремума касательная:

a) либо параллельна оси ОХ,

b) либо не существует.

Данный признак не является достаточным для существования экстремума, т.е. из того, что производная равна нулю или не существует в некоторой точке, не следует, что в этой точке есть экстремум.

Y Y

y = x 3 y =

Точки, в которых первая производная равна нулю или не существует, называют критическими точками первой производной. Если функция имеет экстремумы, то они могут быть только в критических точках.

Пусть функция y=f(x) определена и непрерывна в некоторой окрестности точки х и дифференцируема в этой окрестности (за исключением, быть может, точки х).

Теорема 2 (достаточный признак экстремума). Если первая производная функции в точке х равна нулю или не существует и при переходе через нее производная меняет знак, то данная точка является точкой экстремума, причем если знак меняется с »+» на »-», то это точка максимума, с »-» на »+» – точка минимума.

Доказательство. Пусть в точке х производная дифференцируемой функции равна нулю или не существует и при переходе через нее производная меняет знак с »+» на »-».

возрастает на

убывает на

Источник

Экстремум функции. Необходимое и достаточное условие экстремума

Рассмотрим функцию у=f(x), определённую на промежутке (). Пусть хÎ(), δ ─ некоторое положительное число. Будем называть δ-окрестностью точки х интервал (х − δ;х + δ) и обозначать его О(х;δ).

Определение.Если можно указать такую δ-окрестность точки х, принадлежащую (), что для всех хÎО(х;δ), х ≠ х, выполняется неравенство

то у = f(x) называют максимумом функции у = f(x)и обозначают через max f(x) (рис.17.1).

Если же для всех хÎО(х;δ), х ≠ х, выполняется неравенство

f(x) 0) , поэтому . Теперь

0;

Таким образом, точки экстремума следует искать среди критических точек.

Определение.Говорят, что функция у = f(x) меняет знак при переходе через точку х=х,если f(x1)f(x2) 0, f(x2) 0.

Теорема (достаточное условие экстремума).

Пусть функция у = f(x) дифференцируема в некоторой окрестности точки х. если в точке х = х производная функции f(x) равна нулю и меняет знак при переходе через точку х, то точка х является точкой экстремума, причём: 1) х ─ точка максимума, если знак меняется с плюса на минус; 2) х ─ точка минимума, если знак меняется с минуса на плюс.

Доказательство. Пусть в точке х производная равна нулю и меняет знак с минуса на плюс, т.е. f ‘(x) = 0, f ‘(x) 0 при х 0). Тогда функция f(x) по теореме о достаточном условии возрастания и убывания функции убывание (х −δ;х) и возрастает на интервале (х+δ), т.е. f(x) 0; 2) х ─ точка максимума, если f »(x) 0, f »(0) = −20 0.

Следовательно, , ─ точки минимума, ─ точка максимума,

Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет

Источник

Признаки экстремума функций.

Определение: точка x0 называется точкой max (min) если существует такая окрестность данной точки, что в x0 функция принимает наибольшее (наименьшее) значение.

Точка х0 наз. точкой экстремума, если эта точка max или min данной функции.

Теорема: Необходимый признак экстремума функции.

Читайте также:  Признаки блефарита у детей

Если х0 точка экстремума f(x), то :

1). Либо не существует f’(x0)

1). Не существует f’(x0)

Замечание: данные условия не являются достаточными.

Теорема 1. (Необходимое условие существования экстремума.) Если дифференцируемая функция y=f(x) имеет в точке x= x0 экстремум, то ее производная в этой точке обращается в нуль.

Доказательство. Пусть для определенности в точке x0 функция имеет максимум. Тогда при достаточно малых приращениях Δx имеем f(x0+ Δx) 0 на интервале (x0-б,х0) и f’(x) 0 для любого x ( a, b ), то функция f ( x ) является вогнутой на интервале ( a, b );

если f » ( x ) x0 — над графиком f (или наоборот)

Необходимое условие существования точки перегиба: если функция f(x), дважды дифференцируемая в некоторой окрестности точки x0, имеет в x0 точку перегиба, то f»(x0) = 0.

Достаточное условие существования точки перегиба: если функция f(x) в некоторой окрестности точки x k раз непрерывно дифференцируема, причем k нечётно и , и f(n) = 0 при n = 2,3. k − 1, а, то функция f(x) имеет в x0 точку перегиба.

Часть графика называется бесконечной ветвью если при движении точки по этой части, расстояние между ей и началом координат стремится к бесконечности.

Прямая называется асимптотой бесконечной ветви графика функции, если при удалении точки от начала координат по этой ветви, расстояние до данной прямой стремится к нулю.

Теорема 1: x=a (вертикальная прямая) – является асимптотой для бесконечно вертикальной ветви графика функции y=f(x), тогда когда f(x), при xa.

Теорема 2: Критерий существования наклонной асимптоты прямая y=kx+b является асимптотой для правой (левой) ветви графика функции тогда, когда существует предел при :

Док-во: Точка M0(x0,y0) и прямая

L: Ax+By+Cz=0, то расстояние

Теорема: Необходимый признак существования наклонной асимптоты. Если прямая l: y=kx+b –

наклонная асимп. для правой наклонной ветви, то:

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Источник

Необходимый признак экстремума.

Билет №1

19. Определение точки максимума и минимума функции z=f(x,y). Точка (X;Y) называется точкой максимума функции z=f(x;y), если существует такая δ-окрестность точки (X;Y), что выполняется неравенство f(x;y) f(X;Y).

Необходимый признак экстремума.

Если непрерывная функция z=z(x,y) имеет в точке P0(x0,y0) экстремум, то все ее частные производные первого порядка в этой точке или равны нулю или не существуют

Билет №2

6. Теорема о среднем (формулировка, доказательство, геометрический смысл).Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b], то существует точка С∈[a;b] такая, что ∫(от a до b) f(x)dx=f(c)*(b-a).Доказательство. По формуле Ньютона-Лейбница имеем ∫(от a до b) f(x)dx=F(x)|(от a до b)=F(b)-F(a), где F'(x)=f(x). Применяя к разности F(b)-F(a) теорему Лагранжа (теорему о конечном приращении функции), получим F(b)-F(a)=F'(c)*(b-a)=f(c)*(b-a).Геометрический смысл. Теорема при f(x)≥0 имеем простой геометрический смысл: значение определенного интеграла равно, при некотором С∈ (a;b), площади прямоугольника с высотой f(c) и основанием b-a. Число f(c)=1/(b-a)∫(от a до b) f(x)dx называется средним значением функции f(x) на отрезке [a;b].

Билет №3

Необходимый признак экстремума.

Если непрерывная функция z=z(x,y) имеет в точке P0(x0,y0) экстремум, то все ее частные производные первого порядка в этой точке или равны нулю или не существуют

Билет №8

6. Теорема о среднем (формулировка, доказательство, геометрический смысл).Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b], то существует точка С∈[a;b] такая, что ∫(от a до b) f(x)dx=f(c)*(b-a).Доказательство. По формуле Ньютона-Лейбница имеем ∫(от a до b) f(x)dx=F(x)|(от a до b)=F(b)-F(a), где F'(x)=f(x). Применяя к разности F(b)-F(a) теорему Лагранжа (теорему о конечном приращении функции), получим F(b)-F(a)=F'(c)*(b-a)=f(c)*(b-a).Геометрический смысл. Теорема при f(x)≥0 имеем простой геометрический смысл: значение определенного интеграла равно, при некотором С∈ (a;b), площади прямоугольника с высотой f(c) и основанием b-a. Число f(c)=1/(b-a)∫(от a до b) f(x)dx называется средним значением функции f(x) на отрезке [a;b].

Билет №9

Билет №12

7. Интеграл с переменным верхним пределом. Теорема о производной интеграла с переменным верхним пределом (формулировка, доказательство).Производная определенного интеграла по переменному верхнему пределу равна подынтегральной функции, в которой переменная интегрирования заменена этим пределом, то есть (∫(от a до x) f(t)dt)’x=f(x). Доказательство. По формуле Ньютона-Лейбница имеем: ∫(от a до x) f(t)dt=F(t)|(от a до x)=F(x)-F(a). Следовательно, (∫(от a до x) f(t)dt)’x=(F(x)-F(a))’x=F'(x)-0=f(x). Это означает, что определённый интеграл с переменным верхним пределом есть одна из первообразных подынтегральной функции.

Читайте также:  Как ребенок начинает садиться признаки

Билет №13

17. Касательная плоскость и нормаль к поверхности (определение).Касательной плоскостью к поверхности в точке М называется плоскость, проходящая через эту точку поверхности, если угол между этой плоскостью и секущей, проходящей через точку М и любую другую точку М1 поверхности, стремится к нулю при М стремящимся к М1. Нормалью к поверхности в точке М называется прямая, проходящая через эту точку перпендикулярно касательной плоскости.

Билет №14

20. Достаточный признак существования экстремума функции z=f(x;y). (формулировка).Пусть в стационарной точке (X;Y) и некоторой её окрестности функция f(x;y) имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно. Вычислим в точке (X;Y) значения A=f»xx(X;Y), B=f»xy(X;Y), C=f»yy(X;Y). Обозначим Δ=|AB; BC|=AC-B^2. Тогда: 1)если Δ>0, то функция f(x;y) в точке (X;Y) имеет экстремум: максимум, если A 0; 2)если Δ Δxz=(A*Δx+0(│x│). ρ=√(Δx 2 +Δy 2 )=│Δx│. Δxz/Δx=A+0(│x│)/Δx. LimΔx→0 (Δxz/Δx)=lim[A+0(│x│)/Δx]=A. δz/Δx(x;y)=A. Аналогично: Y→Δy, x=x=>ΔyZ. δz/Δy(x;y)=B

Источник

Экстремумы функции: признаки существования, примеры решений

Экстремумы функции, их необходимый и достаточный признаки

Нахождение эктремумов функции может быть как самостоятельной задачей, так и одним из этапов полного исследования функции и построения её графиков.

Рассмотрим график непрерывной функции (рисунок снизу).

Определение. Точка x 1 области определения функции f(x) называется точкой максимума функции, если значение функции в этой точке больше значений функции в достаточно близких к ней точках, расположенных справа и слева от неё (то есть выполняется неравенство f(x 0 ) > f(x 0 + Δx) ). В этом случае говорят, что функция имеет в точке x 1 максимум.

Определение. Точка x 2 области определения функции f(x) называется точкой минимума функции, если значение функции в этой точке меньше значений функции в достаточно близких к ней точках, расположенных справа и слева от неё (то есть выполняется неравенство f(x 0 ) 0 + Δx) ). В этом случае говорят, что функция имеет в точке x 2 минимум.

Определение. Точки, в которых производная функции равна нулю или не существует, называются критическими точками.

Пример 1. Рассмотрим функцию .

В точке x = 0 производная функции равна нулю, следовательно, точка x = 0 является критической точкой. Однако, как видно на графике функции, она возрастает во всей области определения, поэтому точка x = 0 не является точкой экстремума этой функции.

Итак, чтобы определить точки экстремума функции, требуется выполнить следующее:

Для самопроверки при расчётах можно воспользоваться онлайн калькулятором производных.

Пример 2. Найти экстремумы функции .

Решение. Найдём производную функции:

.

Приравняем производную нулю, чтобы найти критические точки:

.

Так как для любых значений «икса» знаменатель не равен нулю, то приравняем нулю числитель:

.

То есть, точка x = 3 является точкой минимума.

Найдём значение функции в точке минимума:

.

Замечание 1. Если в точке x 0 обращаются в нуль и первая, и вторая производные, то в этой точке нельзя судить о наличии экстремума на основании второго достаточного признака. В этом случае нужно воспользоваться первым достаточным признаком экстремума функции.

Замечание 2. Второй достаточный признак экстремума функции неприменим и тогда, когда в стационарной точке первая производная не существует (тогда не существует и вторая производная). В этом случае также нужно вопользоваться первым достаточным признаком экстремума функции.

Локальный характер экстремумов функции

Говоря обобщённо, на промежутке функция может иметь несколько экстремумов, причём может оказаться, что какой-либо минимум функции больше какого-либо максимума. Так, для функции изображённой на рисунке выше, .

Ищем экстремумы функции вместе

Пример 3. Найти экстремумы функции и построить её график.

Решение.Функция определена и непрерывна на всей числовой прямой. Её производная существует также на всей числовой прямой. Поэтому в данном случае критическими точками служат лишь те, в которых , т.е. , откуда и . Критическими точками и разбивают всю область определения функции на три интервала монотонности: . Выберем в каждой из них по одной контрольной точке и найдём знак производной в этой точке.

Читайте также:  Белые густые выделения без запаха как признак беременности

Для интервала контрольной точкой может служить : находим . Взяв в интервале точку , получим , а взяв в интервале точку , имеем . Итак, в интервалах и , а в интервале . Согласно первому достаточному признаку экстремума, в точке экстремума нет (так как производная сохраняет знак в интервале ), а в точке функция имеет минимум (поскольку производная при переходе через эту точку меняет знак с минуса на плюс). Найдём соответствующие значения функции: , а . В интервале функция убывает, так как в этом интервале , а в интервале возрастает, так как в этом интервале .

Чтобы уточнить построение графика, найдём точки пересечения его с осями координат. При получим уравнение , корни которого и , т. е. найдены две точки (0; 0) и (4; 0) графика функции. Используя все полученные сведения, строим график (см. в начале примера).

Для самопроверки при расчётах можно воспользоваться онлайн калькулятором производных.

Пример 4. Найти экстремумы функции и построить её график.

Областью определения функции является вся числовая прямая, кроме точки , т.е. .

Для сокращения исследования можно воспользоваться тем, что данная функция чётная, так как . Поэтому её график симметричен относительно оси Oy и исследование можно выполнить только для интервала .

Находим производную и критические точки функции:

1) ;

2) ,

но функция терпит разрыв в этой точке, поэтому она не может быть точкой экстремума.

Таким образом, заданная функция имеет две критические точки: и . Учитывая чётность функции, проверим по второму достаточному признаку экстремума только точку . Для этого найдём вторую производную и определим её знак при : получим . Так как и , то является точкой минимума функции, при этом .

Чтобы составить более полное представление о графике функции, выясним её поведение на границах области определения:

(здесь символом обозначено стремление x к нулю справа, причём x остаётся положительным; аналогично означает стремление x к нулю слева, причём x остаётся отрицательным). Таким образом, если , то . Далее, находим

,

т.е. если , то .

Найти экстремумы функции самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 5. Найти экстремумы функции .

Пример 6. Найти экстремумы функции .

Пример 7. Найти экстремумы функции .

Для самопроверки при расчётах можно воспользоваться онлайн калькулятором производных.

Продолжаем искать экстремумы функции вместе

Пример 8. Найти экстремумы функции .

Решение. Найдём область определения функции. Так как должно выполняться неравенство , то из получаем .

Найдём первую производную функции:

Найдём критические точки функции:

Точки и не могут быть точками экстремума, так как находятся на границе области определения функции. В точке производная функции меняет знак с плюса на минус, а в точке — с минуса на плюс. Следовательно, — точка максимума, а точка — точка минимума функции.

Найдём значения функции в этих точках:

Таким образом, экстремумы функции:

.

Пример 9. Найти экстремумы функции .

Решение. Найдём область определения функции.

Найдём первую производную функции:

Найдём критические точки функции:

Таким образом, у данной функции две критические точки: и . Определим значения производной в критических точках. При переходе через точку производная функции продолжает убывать (сохраняет знак минус), а при переходе через точку — начинает возрастать (меняет знак с минуса на плюс). Следовательно, — точка минимума функции.

Найдём значение функции в точке минимума:

Таким образом, минимум функции:

.

Пример 10. Найти экстремумы функции .

Решение. Найдём первую производную функции:

.

Найдём критические точки функции:

.

Так как для любого действительного x должно выполняться условие , то

.

Таким образом, данная функция имеет одну критическую точку. Определим значения производной в критической точке. При переходе через точку производная функции начинает убывать (меняет знак с плюса на минус). Следовательно, — точка максимума функции.

Найдём значение функции в точке максимума:

.

Таким образом, максимум функции:

.

Источник

Adblock
detector