Какие признаки считаются необходимыми а какие достаточными

Содержание
  1. Достаточность Необходимость
  2. Содержание
  3. Необходимое условие
  4. Достаточное условие
  5. Необходимое и достаточное условие
  6. Пример
  7. См. также
  8. Смотреть что такое «Достаточность Необходимость» в других словарях:
  9. Необходимое и достаточное условие
  10. Содержание
  11. Необходимое условие
  12. Достаточное условие
  13. Необходимое и достаточное условие
  14. Пример
  15. См. также
  16. Ссылки
  17. Смотреть что такое «Необходимое и достаточное условие» в других словарях:
  18. Необходимые и достаточные условия
  19. Необходимость и достаточность#
  20. Необходимость#
  21. Достаточность#
  22. Примеры#
  23. Применение#
  24. Необходимые и достаточные условия в свойствах геометрических фигур
  25. В обыденной речи отрицание осуществляется с помощью частицы «не». Например, отрицанием высказывания «точка А а» «А ∉ а». Очевидно, если первое высказывание истинно, второе ложно, если первое ложно, второе истинно.

Достаточность Необходимость

Необходимое условие и достаточное условие — виды условий связи суждений. Различие этих условий используется в логике и математике для обозначения видов связи суждений.

Содержание

Необходимое условие

Суждение P является необходимым условием суждения X, когда из (истинности) X следует (истинность) P. То есть, если P ложно, то заведомо ложно и X.

Для суждений X типа «объект принадлежит классу M» такое суждение P называется свойством (элементов) M.

Достаточное условие

Суждение Q является достаточным условием суждения X, когда из (истинности) Q следует (истинность) X, то есть в случае истинности Q проверять X уже не требуется.

Для суждений X типа «объект принадлежит классу M» такое суждение Q называется признаком (элементов) M.

Необходимое и достаточное условие

Суждение K является необходимым и достаточным условием суждения X, когда K является как необходимым условием X, так и достаточным. В этом случае говорят ещё что K и X равносильны, или эквивалентны.

Для суждений X типа «объект принадлежит классу M» такое суждение K называется критерием принадлежности классу M.

Пример

Суждение X: «Вася получает стипендию».
Необходимое условие P: «Вася — студент».
Достаточное условие Q: «Вася учится в вузе без троек».

Из того, что Вася — студент, еще не следует, что он получает стипендию. Но это условие необходимо, то есть если Вася не студент, то он заведомо не получает стипендию.

Если же Вася учится в вузе без троек, то он заведомо получает стипендию. Тем не менее, студент Вася может получать стипендию (в виде пособия), если он учится с тройками, но, например, имеет хроническое заболевание.

См. также

Смотреть что такое «Достаточность Необходимость» в других словарях:

Необходимость, достаточность — Необходимое условие и достаточное условие виды условий связи суждений. Различие этих условий используется в логике и математике для обозначения видов связи суждений. Содержание 1 Необходимое условие 2 Достаточное условие … Википедия

Необходимость достаточность — Необходимое условие и достаточное условие виды условий связи суждений. Различие этих условий используется в логике и математике для обозначения видов связи суждений. Содержание 1 Необходимое условие 2 Достаточное условие … Википедия

ДОСТАТОЧНОСТЬ СОБСТВЕННОГО КАПИТАЛА — CAPITAL ADEQUACYСтруктура капитала банков включает в себя собственный капитал и долг. Банки это фин. институты, имеющие большую долю заемных средств, что может сказаться на их жизнеспособности. Более того, банки имеют значительные потенциальные… … Энциклопедия банковского дела и финансов

оценка — давать оценку • действие дать высокая оценка • действие дать высокую оценку • действие дать объективную оценку • действие дать оценку • действие дать правовую оценку • действие даётся оценка • действие, пассив на ся касаться оценки • касательство … Глагольной сочетаемости непредметных имён

IPO — (Публичное размещение) IPO это публичное размещение ценных бумаг на фондовом рынке Сущность понятия публичного размещения (IPO), этапы и цели проведения IPO, особенности публичного размещения ценных бумаг, крупнейшие IPO, неудачные публичные… … Энциклопедия инвестора

МДС 11-3.99: Методические рекомендации по проведению экспертизы технико-экономических обоснований (проектов) на строительство объектов жилищно-гражданского назначения — Терминология МДС 11 3.99: Методические рекомендации по проведению экспертизы технико экономических обоснований (проектов) на строительство объектов жилищно гражданского назначения: 2.9.6. Анализ влияния неопределенности и риска на эффективность… … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

Теорема Вильсона — теорема теории чисел, которая утверждает, что Натуральное число является простым тогда и только тогда, когда делится на p. Практическое использование теоремы Вильсона для определения простоты числа нецелесообразно из за сложности вычисления… … Википедия

Теорема Кронекера — Капелли — Теорема Кронекера Капелли критерий совместности системы линейных алгебраических уравнений: Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг её основной матрицы равен рангу её расширенной матрицы,… … Википедия

Критерий совместности — Теорема Кронекера Капелли критерий совместности системы линейных алгебраических уравнений: Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг её основной матрицы равен рангу её расширенной матрицы, причём система … Википедия

Источник

Необходимое и достаточное условие

Необходимое условие и достаточное условие — виды условий связи суждений. Различие этих условий используется в логике и математике для обозначения видов связи суждений.

Содержание

Необходимое условие

Суждение P является необходимым условием суждения X, когда из (истинности) X следует (истинность) P. То есть, если P ложно, то заведомо ложно и X.

Для суждений X типа «объект принадлежит классу M» такое суждение P называется свойством (элементов) M.

Достаточное условие

Суждение P является достаточным условием суждения X, когда из (истинности) P следует (истинность) X, то есть в случае истинности P проверять X уже не требуется.

Для суждений X типа «объект принадлежит классу M» такое суждение P называется признаком (элементов) M.

Необходимое и достаточное условие

Суждение K является необходимым и достаточным условием суждения X, когда K является как необходимым условием X, так и достаточным. В этом случае говорят ещё что K и X равносильны, или эквивалентны.

Для суждений X типа «объект принадлежит классу M» такое суждение K называется критерием принадлежности классу M.

Пример

Суждение X: «Вася получает стипендию».
Необходимое условие P: «Вася — учащийся».
Достаточное условие Q: «Вася учится в вузе без троек».

Из того, что Вася — учащийся, ещё не следует, что он получает стипендию. Но это условие необходимо, то есть если Вася не учащийся, то он заведомо не получает стипендии.

Если же Вася учится в вузе без троек, то он заведомо получает стипендию. Тем не менее, студент Вася может получать стипендию (в виде пособия), если он учится с тройками, но, например, имеет хроническое заболевание.

В импликации A → B
A — это достаточное условие для B
B — это необходимое условие для A

См. также

Ссылки

Смотреть что такое «Необходимое и достаточное условие» в других словарях:

необходимое и достаточное условие — — [http://slovarionline.ru/anglo russkiy slovar neftegazovoy promyishlennosti/] Тематики нефтегазовая промышленность EN necessary and sufficient condition … Справочник технического переводчика

Достаточное условие — Необходимое условие и достаточное условие виды условий связи суждений. Различие этих условий используется в логике и математике для обозначения видов связи суждений. Содержание 1 Необходимое условие 2 Достаточное условие … Википедия

ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ — А является таким условием для В, если истинно условное высказывание «Если А, то 5». Напр., т.к. условное высказывание «Если число делится на 9, то оно делится на 3» истинно, делимость числа на 9 является Д.у. его делимости на 3. Понятие Д.у.… … Философская энциклопедия

Необходимое условие — и достаточное условие виды условий связи суждений. Различие этих условий используется в логике и математике для обозначения видов связи суждений. Содержание 1 Необходимое условие 2 Достаточное условие … Википедия

НЕОБХОДИМОЕ УСЛОВИЕ — В является таким условием для А, если истинно условное высказывание «Если А, то 5». Напр., поскольку условное высказывание «Если ниобий металл, то он электропроводен» истинно, то электропроводность ниобия является Н.у. того, что он металл. То,… … Философская энциклопедия

условие — сущ., с., употр. часто Морфология: (нет) чего? условия, чему? условию, (вижу) что? условие, чем? условием, о чём? об условии; мн. что? условия, (нет) чего? условий, чему? условиям, (вижу) что? условия, чем? условиями, о чём? об условиях … … Толковый словарь Дмитриева

условие — ▲ предпосылка ↑ необходимый условие необходимая предпосылка чего л; пассивная необходимость (# существования. основное #. необходимое #. достаточное #. необходимое и достаточное #). являться условием чего. предполагать (эта работа предполагает… … Идеографический словарь русского языка

Достаточность Необходимость — Необходимое условие и достаточное условие виды условий связи суждений. Различие этих условий используется в логике и математике для обозначения видов связи суждений. Содержание 1 Необходимое условие 2 Достаточное условие … Википедия

Если и только если — Необходимое условие и достаточное условие виды условий связи суждений. Различие этих условий используется в логике и математике для обозначения видов связи суждений. Содержание 1 Необходимое условие 2 Достаточное условие … Википедия

Критерий (логика) — Необходимое условие и достаточное условие виды условий связи суждений. Различие этих условий используется в логике и математике для обозначения видов связи суждений. Содержание 1 Необходимое условие 2 Достаточное условие … Википедия

Источник

Необходимые и достаточные условия

Понятие отношения следования между предложениями позволяет уточнить смысл слов «необходимо» и «достаточно», которые часто употребляются в математике.

Если из предложения А следует предложение В, то говорят, что В – необходимое условие для А, а А – достаточное условие для В.

Другими словами, предикат В(х) логически следует из предиката А(х), т.е. А(х)В(х), то А(х) называют достаточным условием для В(х), а В(х) – необходимым условием для А(х).

условие необходимости: АВ

условие достаточности: ВА

Если же предложения А и В равносильны, то говорят, что А – необходимое условие для В, и наоборот.

Другими словами, если из предиката А(х) логически следует предикат В(х), а из предиката В(х) логически следует предикат А(х), т.е. А(х)В(х), то А(х)необходимое и достаточное условие для В(х), а В(х) – необходимое и достаточное условие для А(х).

условие необходимости и достаточности:

АВ

В начальном курсе математики слова «необходимо» и «достаточно», как правило, не употребляются, но зато широко используются их синонимы – «нужно» и «можно».

Приведем пример. В первой коробке 6 карандашей, во второй – на 2 меньше. Сколько карандашей в двух коробках?

Один из возможных путей поиска решения задачи может быть таким. Учитель спрашивает: можно ли сразу узнать, сколько карандашей (т.е. достаточно ли данных в задаче, чтобы сразу ответить на ее вопрос)?

Учащийся отвечает: нельзя, так как нужно знать, сколько карандашей во второй коробке (т.е. необходимо знать).

Учитель далее спрашивает: можно ли узнать количество карандашей во второй коробке? (т.е. достаточно ли данных в задаче, чтобы сразу ответить на этот вопрос)?

Ученик отвечает: можно.

Учитель спрашивает: что для этого нужно сделать? И т.д.

Правильное употребление слов «нужно» и «можно» – залог успеха в использовании слов «необходимо» и «достаточно» при дальнейшем изучении математики.

Рассмотрим следующие примеры.

1. Вместо многоточия вставим термины «необходимо», «достаточно» или «необходимо и достаточно»: «Для того чтобы число х являлось делителем числа 15, …, чтобы число х являлось делителем числа 5».

Читайте также:  Признаки внематочной беременности на раннем сроке 2 недели фото

Решение: Введем обозначения: С(х) – «число х делитель числа 5», В(х) – «число х – делитель числа 15».

Для ответа на вопрос задачи нужно выяснить, каким условием является предикат С(х) для предиката В(х).

Для проверки достаточности предиката С(х) выясним, находятся ли С(х) и В(х) в отношении следования. Так как Т = <1, 5>, а Т = <1, 3, 5,15>, то Т Т и, следовательно, С(х)В(х). Истинность последнего высказывания означает, что С(х) является достаточным условием для В(х).

Проверим, является ли С(х) необходимым условием для В(х), выяснив, истинно ли высказывание В(х)С(х).

Так как найдется такое значение х (например, х = 3), при котором В(х) истинно, а С(х) ложно, то высказывание В(х)С(х) ложно и, следовательно, С(х) не является необходимым условием для В(х).

Таким образом, вместо многоточия можно вставить термин «достаточно»: «Для того чтобы число х являлось делителем числа 15, достаточно, чтобы х являлось делителем числа 5».

2. Дано предложение: «Для того чтобы четырехугольник был ромбом, необходимо, чтобы его диагонали были взаимно перпендикулярны». Выясним, нельзя ли сформулировать это предложение по-другому.

Поскольку предложение «Диагонали ромба взаимно перпендикулярны» вытекает из предложения «Четырехугольник – ромб», то предложение «Для того чтобы четырехугольник был ромбом, необходимо, чтобы его диагонали были взаимно перпендикулярны» можно сформулировать еще так:

1) Из того, что четырехугольник – ромб, следует, что его диагонали взаимно перпендикулярны.

2) Во всяком ромбе диагонали взаимно перпендикулярны.

3) Если четырехугольник – ромб, то его диагонали взаимно перпендикулярны.

4) Чтобы диагонали четырехугольника были взаимно перпендикулярны, достаточно, чтобы он был ромбом.

3. Вставить слова «необходимо», «достаточно», «необходимо и достаточно» в предложение «Для того чтобы натуральное число делилось на 6, …, чтобы оно делилось на 2».

Решение: Пусть предложение А – «число делится на 6», В – «Число делится на 2». Тогда, для того чтобы выполнялось условие необходимости, из предложения А должно логически следовать предложение В, а чтобы выполнялось условие достаточности – предложение А должно логически следовать из В.

Действительно, любое число, которое делится на 6, делится на 2. Значит, выполняется условие необходимости. И не верно, что любое число, делящееся на 2, делится на 6 (например, 14 делится на 2, но не делится на 6).

Значит, условие достаточности не выполняется, а вместо многоточия нужно вставить термин «необходимо»: «Для того чтобы натуральное число делилось на 6, необходимо, чтобы оно делилось на 2».

Источник

Необходимость и достаточность#

Два этих слова очень часто встречаются и применяются как в жизни, так и в математике.

Выясним их точный математический смысл, а также сферу применения.

И поможет нам в этом деле вот такое высказывание:

«Вы отлично сдали экзамен в ВУЗе»

В связке с ним будем рассматривать еще два:

Необходимость#

Если вы не студент, то и доступа к экзамену вас не будет. Поэтому, «быть студентом» необходимо для того, чтобы «отлично сдать экзамен». Другими словами:

«Если вы отлично сдали экзамен, то вы студент»

Мы только что сформулировали житейский смысл необходимого условия. Обобщим для любых высказываний:

Импликация в этом определении не работает в обратную сторону. То есть, из того, что «вы — студент» вовсе не следует, что вы «отлично сдадите экзамен»!

Достаточность#

Если вы все списали, то вы точно сдадите экзамен на отлично. Поэтому, «вы все списали» достаточно для того, чтобы «отлично сдать экзамен». Снова имеем импликацию:

«Если вы все списали, то вы отлично сдали экзамен»

Мы установили житейский смысл достаточного условия. Введем теперь четкое определение:

Как и в случае с необходимостью, не факт, что работает импликация в обратную сторону. То есть, из того, что «вы отлично сдали экзамен» не следует, что «вы все списали». Ведь вы могли честно готовится и изучать материал, а не списывать.

Примеры#

До этого момента мы пользовались житейским примером про экзамен, студентов и списывание. Сейчас приведем по одному математическому примеру для необходимого и достаточного условий.

«Стороны попарно параллельны» — необходимое условие для «четырехугольник — квадрат»

«Если четырехугольник — квадрат, то его стороны попарно параллельны»

Почему? По определению необходимого условия можно составляем импликацию:

Эта импликация истинна для любых квадратов, так как стороны любого квадрата попарно параллельны.

Может быть «параллельность сторон» еще и достаточным условием?

По определению достаточного условия составляем импликацию:

Это не так. Возьмем любой ромб. Его стороны тоже попарно параллельны. По импликации выше любой ромб он должен являться квадратом. Но не все ромбы — квадраты. Получается, что импликация для таких «неквадратных» ромбов ложна, а значит параллельность сторон не является достаточным условием.

Почему? По определению необходимого условия можно составляем импликацию:

По определению необходимого условия составляем импликацию:

По определению импликации, она ложна, когда из правды следует ложь. Именно это и показано выше.

Применение#

Но то, что вы являетесь студентом вовсе не означает, что экзамен вы сдадите отлично!

Источник

Необходимые и достаточные условия в свойствах геометрических фигур

Необходимое условие и достаточное условие — виды условий, логически связанных с некоторым суждением. Различие этих условий используется в логике и математике для обозначения видов связи суждений.

Предмет математической логики разнообразен. Раздел математической

логики, включающий классическую логику высказываний (алгебру высказываний и исчисление высказываний) и классическую логику предикатов (алгебру предикатов и исчисление предикатов).

Логика как искусство рассуждений зародилась в глубокой древности.

Начало формальной логики как науки о структуре суждений и умозаключений связано с именем Аристотеля (IV в. до н. э.). Дедуктивные умозаключения, в которых из двух суждений следует новое суждение – силлогизмы – были проведены Аристотелем на категорических суждениях – суждениях типа:

А – общеутвердительное суждение «Всякое S суть Р»;

Е – общеотрицательное суждение «Никакое S не суть Р»;

I – частноутвердительное суждение «Некоторые S суть Р»;

О – частноотрицательное суждение «Некоторые S не суть Р».

Пример «первой фигуры» силлогизма: «Все люди смертны. Кай – чело-

век. Следовательно, Кай смертен.»

Актуальность темы «Необходимые и достаточные условия» обусловлена тем, что эти понятия встречаются в различных науках, например, математический анализ, алгебра, логика и др.. Особенно, данные условия часто встречаются в геометрии при доказательстве теорем. По мнению Болтянского В. Г., необходимое условие есть признак, а достаточное условие – свойство.

Цель исследования: систематизировать сведения о необходимых и достаточных условиях и применить их к решению типовых задач.

Объект исследования:необходимые и достаточные условия.

Предмет исследования: решение задач на нахождение необходимых и достаточных условия в свойствах плоских геометрических фигур.

1. изучить теоретические сведения о необходимых и достаточных условиях;

2. рассмотреть решения задач на нахождение необходимых и достаточных условий в свойствах геометрических фигур.

Результаты исследования докладывались на внутривузовской студенческой научно-практической конференции «Молодежь в мире науки» Сургутского государственного педагогического университета (ноябрь, 2017 г., Сургут) и студенческой XXII научно-практической конференции «Студенчество в научном поиске» (апрель, 2018 г., Сургут), на которой доклад занял II место. Кроме того, опубликована статья «Необходимые и достаточные условия в свойствах геометрических фигур» в рамках X Международной студенческой научной конференции «Студенческий научный форум 2018» (апрель, 2018 г.).

Объем и структура исследования определены логикой исследования. Общий объем исследования составляет 38 страниц, состоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы.

Глава 1. Необходимые и достаточные условия

1.1. Структура теоремы

Понятие логического исследования позволяет уточнить ряд вопросов, связанных с предложениями, которые в математике называют теоремами.

Определение 1. Теорема − это высказывание, истинность которого устанавливается посредством рассуждения (доказательства).

В математике мы имеем дело с различными высказываниями. Вот некоторые примеры (приведенные высказывания являются ложными):

Всякое высказывание является либо истинным, либо ложным (закон исключенного третьего).

Теоремы часто формулируются в виде импликаций ( AB ).Импли-кативная структура наиболее удобна для выделения условия и заключения теоремы (того, что дано, и того, что необходимо доказать).
Условие или заключение в свою очередь может не быть элементарным высказыванием, а иметь определенную логическую структуру, чаще всего конъюнктивную или дизъюнктивную [4].

Нап ример, условием теоремы «Если четырехугольник является прямоугольником, то в нем диагонали равны» является предложение «Четырехугольник − прямоугольник», а заключением − предложение «В четырехугольнике диагонали равны».

Теоремы могут иметь и более сложные структуры, включающие разноименные кванторы, как, например, теоремы о существовании и единственности [4].

Доказательства геометрических теорем вообще являются составными, т. е. состоят из определенной последовательности, или цепочки, простых доказательств [22].

Под логическим анализом доказательств надо понимать выяснение его логической структуры, т. е. представление доказательства в виде последовательности шагов или простых доказательств и выяснения сущности каждого шага:

а) какие предложения принимаются за истинные (посылки);

б) какое правило вывода применяется к посылкам;

в) какое новое истинное предложение (заключение) получается в результате этого применения.

Далее речь пойдет о необходимых и достаточных условиях. Но для этого нужно рассмотреть дополнительную вспомогательную информацию, которая поможет нам узнать все о необходимых и достаточных условиях.

1.2. Логические связки

Очень часто математические теоремы сконструированы с помощью слов «если. то». Если теорема сформулирована иначе, предпочитают переформулировать ее с помощью этих слов, так как такая формулировка облегчает выделения условия (предложения, помещенного между словами «если» и «то») и заключения теоремы (предложения, помещенного за словом «то»).

Пример. «Вместо вертикальные углы – равны» говорят «если углы − вертикальные (А), то они равны (В)». В такой формулировке выявлены: условие, т. е. то, что дано ( A – «углы – вертикальные»), и заключение, т. е. то, что требуется доказать при заданном условии (В – «углы равны»).

Истинность предложения «если углы вертикальные, то они равны» исключает возможность существования таких углов, которые были бы вертикальными, но не были бы равными.

Приведенные примеры высказываний и высказывательных форм типа «Если А, то В» показывают, что всякие предложения такого вида имеют тот же логический смысл (выражают ту же логическую связь между составляющими предложениями А и В), что и предложение «неверно, что А и не В», которое на логическом языке записывается так:

Импликацией «если А, то В» называется предложение, которое ложно тогда и только тогда, когда А истинно, а В ложно.

Таким образом, если А и В – высказывательные формы, то, утверждая, что импликация АВ истинна, мы имеем в виду, что она обращается в истинное высказывание при любых значениях переменных, входящих в А и В (или хотя бы одно из них).

Наиболее простой логической операцией, выполняемой над одним высказыванием, является отрицание.

В обыденной речи отрицание осуществляется с помощью частицы «не». Например, отрицанием высказывания «точка А а» «А ∉ а». Очевидно, если первое высказывание истинно, второе ложно, если первое ложно, второе истинно.

Мы приходим к следующему определению отрицания: отрицание данного высказывания называется такое высказывание, которое истинно, когда данное высказывание ложно, и ложно, когда данное высказывание истинно. (Под отрицанием понимаем результат одноименной операции.)

Читайте также:  У человека альбинизм и леворукость рецессивные признаки наследующиеся

Определение отрицания может быть записано в виде следующей таблицы (таблица 2):

Нетрудно заметить, что высказывание A является отрицанием высказывания (удовлетворяет определению отрицания). Таким образом, дважды последовательно выполненная над высказыванием A операция отрицания ( ) приводит снова к этому же высказыванию. Например, отрицая «точка А не принадлежит прямой а», мы приходим к первоначальному высказыванию «точка А принадлежит прямой а».

Отрицание высказывания можно получить, сказав: «утверждение А места не имеет « или « А не выполняется». Однако в ряде случаев отрицание можно получить еще проще. Если, например, высказывание А выражается простым предложением с одним сказуемым, то для получения его отрицания нужно лишь добавить к сказуемому частицу «не».

Пример . Согласно Определению 2 рассмотрим высказывание и его отрицание:

1.3. Цепочка рассуждений

Итак, простейшее доказательство состоит из одного рассуждения. Любое же доказательство представляет собой цепочку рассуждений, т.е. конечную последовательность рассуждений, посылками которых являются истинные предложения (аксиомы, раннее доказанные теоремы, предложения, истинные в силу определений условий доказываемого предложения или заключения предшествующих рассуждений последовательности), а заключение последнего рассуждения есть доказываемое предложение. Название «цепочка» оправдано тем, что заключение каждого из руссуждений, образующих доказательство, за исключением последнего, является посылкой хотя бы в одном из последующих рассуждений последовательности.

Разумеется, в обычной практике доказательства не высказываются явно все посылки и заключения рассуждений, образующих доказательство. Поэтому в такой неполной форме трудно выявить логику доказательства, т.к. те правила вывода, которые в нем используются (разумеется, тоже неявно).

Пусть известно, что ABCD – квадрат; необходимо доказать, что ABCD – параллелограмм. Доказываемое предложение можно записать и так: «если ABCD – квадрат, то ABCD – параллелограмм». Нам надо установить истинность этого предложения. Так как оно имеет структуру импликации, то достаточно установить истинность заключения « ABCD – параллелограмм» при истинности условия (посылки) « ABCD – квадрат» с помощью каких- либо известных истинных предложений.

Иными словами, мы должны установить следование:

ABCD – квадрат → ABCD – ромб,

где заключения « ABCD – ромб» из посылки « ABCD – квадрат» и совокупности уже известных истинных предложений геометрической теории (при этом, разумеется, из совокупности может использоваться одно или несколько утверждений).

Следование и устанавливается с помощью доказательства, т.е. цепочки рассуждений. В обычной практике эта цепочка не высказывается целиком явно. Говорят примерно так: «Так как ABCD – квадрат, то он – ромб, а ромб – параллелограмм. Следовательно, ABCD – параллелограмм.

Суть метода прямой цепочки рассуждений заключается в изобретении вопросов, позволяющих на каждом шаге отбросить большое количество возможных ответов, так что правильный ответ может быть установлен быстро. При этом задаваемые при каждой проверке вопросы целиком зависят от возможных ответов. А различные ответы (т. е. если были задуманы разные животные) подразумевают необходимость использования разных проверок.

1.4. Обратная и противоположные теоремы

Математические предложения часто формулируют в виде импликаций. Если импликация AВ выражает некоторую теорему, то основание A импликации называется условием, а следовательно B – заключением теоремы.

мы определим еще три импликации следующим образом:

называемое обратным по отношению к предложению (1);

б) Если в (1) заменить A и В своими отрицаниями и соответственно, получим предложение

называемое противоположным по отношению к предложению (1);

в) Если в (1) произвести одновременно преобразования, указанные в а) и б), получим предложение

называемое контрапозитивным (противоположно – обратным или обратно – противоположным) по отношению к предложению (1).

Нетрудно заметить, что предложения (1) и (4), (2) и (3) равносильны: AB ;

Данные равносильности выражают закон контрпозиции.

Так, например, предложение « Если многоугольник – правильный, то около него можно описать окружность »– теорема элементарной геометрии. Поэтому и контрпозитивное предложение Если около многоугольника нельзя описать окружность, то многоугольник не есть правильный » тоже теорема элементарной геометрии.

1.5. Необходимо и достаточно

Рассмотрим какую – либо теорему. В большинстве случаев можно в ней выделить условие и заключение. При этом и условие и заключение теоремы являются некоторыми неопределенными высказываниями.

Определение 3. Если А → В, то A называется достаточным условием для В, а В ̶ необходимым условием для А.

Необходимость истинности В для истинности A объясняется тем, что если истинно, а В ложно, то и A ложно.

Таким образом, обороты речи «из А следует В», «А – достаточное условие для В», «В – необходимое условие для А» применяются как синонимы.

Сведем сказанное о необходимых и достаточных условиях в таблицу (таблица 3):

Перевод необходимых и достаточных условий на символьный язык

A достаточное условие для В

А необходимое условие для В

А необходимое, но недостаточное условие для В

В → А истинно, но А → В ложно

А достаточное, но не необходимое условие для А

А необходимое и достаточное условие для А

АВ и ВА истинны, или истинна эквиваленция АВ

В математическом тексте ля выражения достаточного условия используются обороты: тогда; если; в том случае, если.

Для выражения необходимого условия используются также обороты: только тогда; только если; только в том случае, если.

Рассмотрим несколько примеров [22].

1) Говорят, что пропорциональность сторон – необходимое условия подобия двух треугольников. Это надо понимать так: если это условие не выполняется, т. е. стороны не пропорциональны, то треугольники не будут подобными. Иначе говоря, если ложно высказывание:

A : «стороны треугольников пропорциональны»,

B : «треугольники подобны»,

или равносильное ему высказывание:

2) Говорят также, что пропорциональность сторон – достаточное условие подобия треугольников. Это надо понимать так: если это условие выполняется, то треугольники подобны, т.е. если истинно высказывание A : «стороны треугольников пропорциональны», то истинно и высказывание B : «треугольники подобны». Иначе говоря, это означает, что истинно высказывание:

3) Из предыдущего следует, что пропорциональность сторон – необходимое и достаточное условие подобия двух треугольников, а это означает, что истинно высказывание ( → ) ˄ ( A B ), или равносильно высказывание ( B A ) ˄ ( A → B ).

4) Говорят, что пропорциональность сторон – необходимое, но недостаточное условие подобия многоугольников. Это означает, что если стороны непропорциональны, то многоугольники неподобны, но неверно, что если стороны пропорциональны, то многоугольники подобны ( квадрат и непрямоугольный ромб неподобны, хотя стороны их пропорциональны).

Таким образом, теоретическая часть нашей курсовой работы посвящена необходимым и достаточным условием. Нами были рассмотрены элементы математической логики, которые необходимы для понимания темы, также примеры. Мы стремимся получить как можно более «узкие» необходимые условия и как можно более «широкие» достаточные. В идеале, конечно же, хотелось бы иметь условие (или условия) одновременно являющиеся и необходимыми, и достаточными.

Глава 2. Задачи на нахождение необходимых и достаточных условий в свойствах геометрических фигур

Задача, которую мы достигли при выполнении практической части исследования состояла в определении необходимых и достаточных условий в свойствах конкретных геометрических фигур и их применение при решении геометрических задач.

Критерий Бирмана – Шапиро: для необходимости достаточного условия необходимо и достаточно доказать его необходимость.

При анализе сведений о необходимых и достаточных условий выяснилось, что существует следующая типология задач:

выяснение условий: необходимое, достаточное, необходимое и достаточное условие;

доказательства теорем, включающих понятия необходимости и достаточности.

В нашем исследовании мы придерживаемся вышеизложенной типологии.

В процессе работы нами были выделены свойства геометрических фигур на плоскости, которые были использованы при решении задач.

2.1. Необходимые и достаточные условия в свойствах треугольника

В данной части работы мы рассматриваем задачи, в которых использованы свойства треугольников.

Рассмотри свойство треугольника, сформулированное с необходимыми и достаточными условиями: для того, чтобы треугольник был равносторонним, необходимо, чтобы он был равнобедренным.

Необходимые и достаточные условия, особенно часто встречаются в геометрии при доказательстве теорем. Рассмотрим задачу на данную типологию.

Задача 1. Для того чтобы угол прямоугольного треугольника равнялся 15°, необходимо и достаточно, чтобы высота, проведенная к его гипотенузе, была в четыре раза меньше гипотенузы (рис. 1) [12].

Решение. Для доказательства данной задачи, нам необходимо доказать необходимость и достаточность теоремы.

Достаточность. Чтобы доказать достаточность условий, составим теорему:

(Если высота прямоугольного треугольника, проведенная к его гипотенузе, в четыре раза меньше гипотенузы, то угол данного треугольника равняется 15°).

Пусть в треугольнике ABC: ∠C = 90°, CHAB, AB = 4CH. Проведем медиану CM. Тогда CM = AB или CM = · 4CH = 2CH.

Отсюда ∠CMH = 30°. Это внешний угол равнобедренного треугольника MAC, поэтому ∠A = ∠C = 30° : 2 = 15°.

Необходимость. Необходимость легко проверяется с помощью обратного хода.

Следствие 1. Для того чтобы угол прямоугольного треугольника равнялся 15°, необходимо и достаточно, чтобы квадрат его гипотенузы был равен учетверенному произведению катетов, т. е.

Заметим, что формулы, содержащиеся в следствии, связывают лишь стороны прямоугольного треугольника, поэтому соотношение между гипотенузой и высотой, проведенной к ней, можно определять, не находя последнюю. Эти формулы применимы, как правило, в задачах, в которых требуется вычислять углы.

Итак, нами была рассмотрена типовая задача на необходимые и достаточные условия.

2.2. Необходимые и достаточные условия в свойствах четырехугольника

В данном параграфе курсовой работы рассматриваются задачи на нахождение необходимых и достаточных условий в свойствах четырехугольников, а именно, ромба, квадрата, прямоугольника и параллелограмма.

Продемонстрируем решение задачи первого типа, которое заключается в выяснении условий: достаточно, или необходимо или необходимо и достаточно.

Задача 2. Даны высказывания A и B. В каждом случае выясните, каким условием является B для A: необходимым, но не достаточным (Н); достаточным, но не необходимым (Д); необходимым и достаточным (НД):

Решение. Составим из высказываний прямые и обратные теоремы и докажем их истинность или ложность.

а) А → В (Если треугольник равносторонний, то он равнобедренный.) Высказывание истинно;

В → А (Если треугольник равнобедренный, то он равносторонний). Высказывание ложно, если у треугольника равны две стороны, то это еще не значит, что третья сторона будет им равна.

Для того, чтобы треугольник был равносторонним, необходимо, но не достаточно, чтобы он был равнобедренным.

Ответ: B является необходимым условием для A .

б) А → В (Если четырехугольник параллелограмм, то он является прямоугольником.) Высказывание ложно;

Для того, чтобы четырехугольник был параллелограммом, достаточно, но не необходимо, чтобы он являлся прямоугольником.

в) А → В (Если диагонали четырехугольника равны и перпендикулярны, то четырехугольник квадрат.) Высказывание ложно;

В → А (если четырехугольник квадрат, то его диагонали равны и перпендикулярны). Высказывание истинно.

Для того, чтобы диагонали четырехугольника были равны и перпендикулярны, достаточно, но не необходимо, чтобы четырехугольник был квадратом.

Ответ: B является достаточным условием для A .

г) А → В (Если вокруг четырехугольника можно описать окружность, то сумма противоположных углов четырехугольника равна 180°). Высказывание истинно;

Читайте также:  Как понять что девушка разлюбила главные признаки

ВА (Если сумма противоположных углов четырехугольника равно 180°, то вокруг этого четырехугольника можно описать окружность.). Высказывание истинно.

Для того, чтобы вокруг четырехугольника можно было описать окружность, необходимо и достаточно, чтобы сумма противоположных углов четырехугольника была равна 180°

Решение. Сформулируем утверждение о равносильности тремя различными способами:

В прямоугольнике диагонали взаимно – перпендикулярны тогда и только тогда, когда прямоугольник – квадрат

Для того чтобы в прямоугольнике диагонали были взаимно перпендикулярны, необходимо и достаточно, чтобы прямоугольник был квадратом.

Продемонстрируем задачу на нахождение необходимых и достаточных условий в признаках. Тем самым, подтвердим или опровергнет теорию о том, что необходимое условие свойство, а достаточное признак.

Задача 4. Сформулируйте признаки параллелограмма в виде импликаций. Какие из этих достаточных условий являются в то же время необходимыми [20]?

Решение. Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник будет являться параллелограммом.

Выделим в теореме условие и заключение:

Составим прямую теорему из данных предложений докажем ее истинность или ложность:

(Если две стороны четырехугольника Q равны и параллельны, то этот четырехугольник параллелограмм.). Теорема ложна, т. к четырехугольником, у которого две стороны равны и параллельны является и квадрат.

Составим обратную теорему и докажем ее истинность или ложность:

(Если четырехугольник Q является параллелограммом, то две его стороны равны и параллельны.).

Теорема верна, т. к. параллелограмм это четырехугольник, у которого противоположные стороны параллельны.

Доказательство. Рассмотрим четырехугольник ABCD. Пусть в нем стороны AB и СD параллельны. И пусть AB = CD. Проведем в нем диагональ BD. Она разделит данный четырехугольник на два равных треугольника: ABD и CBD (рис. 2).

Эти треугольники равны между собой по двум сторонам и углу между ними (BD общая сторона, AB = CD по условию, ∠1 = ∠2 как накрест лежащие углы при секущей BD параллельных прямых AB и CD.), а следовательно ∠3 = ∠4.

А эти углы будут являться накрест лежащими при пересечении прямых BC и AD секущей BD. Из этого следует что BC и AD параллельны между собой. Имеем, что в четырехугольнике ABCD противоположные стороны попарно параллельны, и, значит, четырехугольник ABCD является параллелограммом.

Ответ: д ля того, чтобы в четырехугольнике две стороны были равны и параллельны, достаточно, чтобы этот четырехугольник являлся параллелограммом.

Признак 2. Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник будет являться параллелограммом.

Выделим в теореме условие и заключение:

Составим прямую теорему из данных предложений докажем ее истинность или ложность:

(Если диагонали четырехугольника М пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник параллелограмм.). Теорема ложна, четырехугольником, у которого диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам может быть не только параллелограмм, но и квадрат, ромб.

Составим обратную теорему из данных предложений докажем ее истинность или ложность:

(Если четырехугольник М является параллелограммом, то его диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам). Теорема верна.

Ответ: для того, чтобы в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делились пополам, достаточно, чтобы этот четырехугольник являлся параллелограммом.

Признак 3. Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник будет параллелограммом.

Выделим в теореме условие и заключение:

Составим прямую теорему из данных предложений докажем ее истинность или ложность:

(Если противоположные стороны четырехугольника S попарно равны, то этот четырехугольник параллелограмм.). Теорема ложна, четырехугольником, у которого попарно равны может быть не только параллелограмм, но и квадрат, ромб, правильная трапеция.

Составим обратную теорему из данных предложений докажем ее истинность или ложность:

(Если четырехугольник S является параллелограммом, то его противоположные стороны попарно равны). Теорема верна.

Доказательство. Рассмотрим четырехугольник ABCD. Проведем в нем диагональ BD. Она разделит данный четырехугольник на два равных треугольника: ABD и CBD (рис. 4).

Ответ: для того чтобы противоположные стороны четырехугольника были попарно равны, достаточно, чтобы этот четырехугольник был параллелограммом.

Рассмотрим второй тип задачи, когда для определения понятия геометрической фигуры необходимо выдвинуть предположения о его необходимых и достаточный свойствах.

Задача 5. Определите понятие квадрата. В этом случае основным вопросом является следующий: что такое квадрат? Чтобы ответить на него, последовательно выдвинете и проверьте следующие предположения (условия) о его необходимых и достаточных свойствах.

Проверка необходимости. Спрашиваем: существует ли хотя бы один квадрат, не являющийся плоской четырехугольной геометрической фигурой? Ответ явно отрицательный. Значит рассматриваемый признак необходим.

Проверка необходимость. Спрашиваем: существует ли хотя бы один квадрат, не являющийся плоской четырехугольной геометрической фигурой с равными сторонами? Ответ отрицательный. Значит, оба рассматриваемых признака необходимы.

Проверка необходимости. Спрашиваем: существует ли хотя бы один квадрат, не являющийся плоской четырехугольной геометрической фигурой с равными сторонами и углами? Ответ отрицательный. Значит, все рассматриваемые признаки необходимы.

Рассмотрим геометрическую задачу, требующую доказательства истинности как прямой теоремы, так и обратной.

Задача 6. Чтобы параллелограмм был ромбом (В), необходимо и достаточно, чтобы диагонали его были взаимно перпендикулярны (А) [9].

Решение. При решении геометрической задачи для наглядности и ускорения работы некоторые данные и следствия из них не записываем, но отмечаем на чертеже.

1. АВ (Если диагонали параллелограмм взаимно перпендикулярны, то он является ромбом.).

Следовательно, параллелограмм ABCK является ромбом.

3. A ⎼ достаточное условие для В.

2. Эта теорема ранее доказана. Высказывание истинно.

2.3. Необходимые и достаточные условия в свойствах многоугольника

Данный параграф посвящен многоугольникам. Задача заключается в нахождении необходимых или достаточных или необходимых и достаточных условий.

Рассмотрим задачу первого типа, где требуется выяснить, какие условия пропущены.

Задача 7. Вместо точек в нижеследующих предложениях поставить одно из выражений «необходимо, но недостаточно», «достаточно, но не необходимо», «необходимо и достаточно» так, чтобы получилось истинное высказывание [22]:

Решение. Составим обратную и ей противоположную теоремы, докажем их истинность или ложность.

а) A → B (Если многоугольник правильный, то около него можно описать окружность). Теорема ложна, т.к окружность можно описать не только около правильного многоугольника, но и неправильного.

B → A (Если около многоугольника можно описать окружность, то данный многоугольник – правильный). Теорема истинна

Ответ: правильность многоугольника достаточна, но не необходима, для того чтобы около него можно было описать окружность.

б) A → B (Если сумма противоположных углов четырехугольника 180°, то около данного четырехугольника можно описать окружность). Теорема истинна.

B → A (Если около четырехугольника можно описать описать окружность, то сумма противоположных углов данного четырехугольника равняется 180°). Теорема истинна.

Ответ: равенство суммы противоположных углов четырехугольника 180° необходимо и достаточно, для того чтобы около четырехугольника можно было описать окружность.

Таким образом, нами была представлена задача о нахождении необходимых и достаточных условий в свойствах многоугольника. Также, примеры с подробным решением предложены нами в первой главе в параграфе «Необходимо и достаточно».

2.4. Необходимость и достаточность в комбинированных задачах

В предыдущих параграфах мы рассматривали необходимые и достаточные условия в свойствах определенных геометрических фигур. Данный параграф посвящен задачам на комбинации фигур, и конечно же, нахождение необходимых и достаточных условий.

Рассмотрим задачу, которая относится к третьему типу: доказательства теорем, включающих необходимость и достаточность по условию.

Задача 8. Каким необходимым и достаточным условиям должна удовлетворять трапеция, чтобы в нее можно было вписать, и около нее можно было описать окружность [12]?

Решение. Докажем, что условиям задачи удовлетворяет равнобедренная трапеция с боковой стороной, равной полусумме ее осно- ваний (рис. 6).

A → B (Если в трапецию можно вписать, и около нее можно описать окружность, то трапеция является равнобедренной, с боковой стороной, равной полусумме ее оснований).

Пусть для трапеции с боковыми сторонами AB и CD существуют вписанная и описанная окружности. Тогда ∠А + ∠ C = 180°, но и для всякой трапеции верно, что и ∠ A + ∠В = 180°, поэтому ∠С = ∠В, т. е. трапеция равнобедренная.

Из этого следует, что трапеция ABCD – равнобокая, т. е. AB = CD .

BA (Если трапеция равнобедренная, с боковой стороной, равной полусумме ее оснований, то около нее можно вписать, и около нее можно описать окружность).

и, следовательно, трапеция описана, что и требовалось доказать.

Ответ: для того, чтобы в трапецию можно было вписать, и около нее описать окружность, необходимо и достаточно, чтобы трапеция была равнобедренной с боковой стороной, равной полусумме ее оснований.

Таким образом, в практической части работы, мы продемонстрировали решения задач на необходимые и достаточные условия в свойствах плоских геометрических фигур. Для того, чтобы научиться решать задачи на нахождение, доказательства необходимых и достаточных условий, необходимо владеть знаниями по элементам математической логики, чем собственно мы и воспользовались при решении задач.

Целью нашей курсовой работы являлась систематизация сведения о необходимых и достаточных условиях и применения их к решению типовых задач.

В данной работе изложены вопросы поиска необходимых и достаточных условий в свойствах геометрических фигур.

В процессе исследования нами были выполнены задачи:

1. изучить теоретические сведения о необходимых и достаточных условиях;

2. рассмотреть решения задач на нахождение необходимых и достаточных условий в свойствах геометрических фигур.

Была разработана типология задач.

Мы выявили, что теоремы и необходимые и достаточные условия тесно взаимосвязаны между собой.

Под теоремой в математике понимается утверждение, требующее доказательства. Между тем наряду с термином «теорема» широко используется ряд родственных понятий, которые, по большему счету, нужно называть теоремами. Приведем их более или менее полный перечень: утверждение; лемма; свойства; признак; критерий.

Таким образом, в процессе работы, мы стремились получить как можно более «узкие» необходимые условия и как можно более «широкие» достаточные. В идеале, конечно же, хотелось бы иметь условие одновременно являющееся и необходимым, и достаточным.

Аристотель говорил: «Необходимое и достаточное условие нельзя не только исключить, но и ослабить, усилить или модифицировать каким- то иным способом без образования противоречия в существовании рассматриваемого свойства. Необходимо то, что иначе быть не может».

Александрова Н.В. История математических терминов, понятий, обозначений: Словарь-справочник [Текст]/Н. В. Александрова Изд. 3-е, испр. – М.: Изд-во ЛКИ, 2008.- 248 с.

Бочаров В.А., Маркин В.И. Введение в логику. [Текст] / В. А. Бочаров., В. И. Маркин. М.: Форум, Инфра-М, 2008. — 560 с

Голубев В. И. Решение сложных и нестандартных задач по математике [Текст] / В. И. Голубев. – М.: ИЛЕКСА, 2007. – 252 с.

Дыбов П.Т., Осколков В.А. Задачи по математике с указаниями и решениями [Текст] / П. Т. Дыбов., В. А. Осколков. 2006 год. 464 стр.

Зубков В.А. Необходимые и достаточные условия в курсе математики средней школы. [Текст] / В. А. Зубков. М. Просвещение, 1979

Кузина Е.Б. Практическая логика. Упражнения и задачи с объяснением способов решения [Текст] / Е. Б. Кузина. М.: Триада, Лтд, 1996. – 160 с.

Шенфилд Дж. Математическая логика [Текст] / Дж. Шенфилд. М.: Наука, 1975. 400 с.

Источник

Adblock
detector