I ое значение признака в совокупности находится в пределах

Характеристика разнообразия признаков в статистической совокупности

Среднее арифметическое обычно рассчитывается для получения стандартов, норм, эталонов, например стандартов физического развития, лабораторных стандартов, физиологических норм, норм нагрузки и т. п.

В связи с развитием новых методов и форм управления здравоохранением, разработкой автоматизированных систем управления, мониторинга здоровья рассчитываются стандарты для многих статистических показателей деятельности учреждений и служб здравоохранения. Порой приходится обобщать совокупность случаев, в которых варианты представляют собой отклонения фактических величин от их средних уровней. В этих случаях определяется критерий разнообразия (вариабельности, колеблемости, рассеяния) признака в статистической совокупности. Чем ближе по значению друг к другу отдельные варианты, тем меньше колеблемость (рассеяние), тем типичнее средняя величина. Одинаковые по размеру средние величины могут быть получены из вариационных рядов с разной степенью колеблемости (разнообразия) признака. При исследовании разнообразия изучаемого признака (его колеблемости или вариации) в статистике применяются следующие характеристики:

·лимит (Lim) – это крайние значения вариант в вариационном ряду:

·среднеквадратическое отклонение (сигма): σ;

·коэффициент вариации: CV.

Лимит и амплитуда характеризуют разнообразие изучаемого признака только по двум крайним вариантам без учета распределения вариант между ними, игнорируя внутреннюю структуру статистической совокупности. Эта характеристика является неточной и применяется только для быстрой, ориентировочной оценки.

Наиболее полную характеристику разнообразия признака в статистической совокупности дает среднеквадратическое отклонение, которое ликвидирует первого способа оценки и делает характеристику колеблемости более рельефной, выпуклой.

Существует два способа расчета среднеквадратического отклонения: непосредственный (среднеарифметический) и способ моментов.

При непосредственном (среднеарифметическом) способе расчеты производятся по формулам:

а) для простого вариационного ряда (p = 1), при небольшом числе

σ = ,

где d (deviation) – это разность между каждой вариантой ряда, и средней

арифметической (истинное отклонение вариант от истинной средней):

Алгебраическая сумма положительных и отрицательных отклонений от

средней всегда равна нулю.

б) для взвешенного вариационного ряда, при небольшом числе

σ = ;

в) для взвешенного вариационного ряда, при большом числе наблюдений:

(n 30);

σ = .

Таким образом, вычисление среднеквадратического отклонения необходимо произвести шесть последовательных действий:

1) определить отклонения вариант от средней: d = V – M;

2) возвести отклонения в квадрат: d 2 ;

3) перемножить квадраты отклонений и частоты: d 2 p;

4) суммировать произведения квадратов отклонений и частот:∑ d 2 p;

5) разделить эту сумму на число наблюдений: ;

6) извлечь из частного квадратный корень: σ = ;

В окончательном виде формула среднеквадратического отклонения будет иметь вид: σ =

Аналогичным образом проводятся вычисления среднеквадратического отклонения и по данным сгруппированного ряда.

σ =i .

где — условное отклонение вариант от условной средней: = V1 – A.

При этом: момент первой степени;

– момент второй степени.

В целом, для получения среднеквадратического отклонения из данных сгруппированного вариационного ряда по способу моментов необходимо последовательно выполнить следующие действия:

1) определить число наблюдений в ряду (n) и величину интервала (i);

2) определить отклонения от условной средней в единицах интервалов

3) перемножить отклонения на соответствующие частоты (αip);

4) суммировать произведения с учетом алгебраических знаков (∑αip);

5) разделить сумму на число наблюдений, получая первый момент:

;

6) перемножить первый момент на величину интервала:

;

7) возвести отклонения от условной средней в единицах интервалов в

квадрат ( );

8) перемножить квадраты отклонений на соответствующие частоты ( p);

9) суммировать произведения ( p);

10) разделить сумму на число наблюдений, получая второй момент:

11) возвести в квадрат первый момент: ;

12) вычесть из второго момента квадрат первого момента:

13) извлечь из разности квадратный корень и, умножив результат на величину интервала, получить среднеквадратическое отклонение:

σ = i .

Этот принцип расчета положен в основу получения дисперсии(среднего квадрата отклонения) определяющей степень однородности статистической совокупности. Дисперсия бывает простая и взвешенная. Дисперсия (σ 2 ) выражается моментом второй степени.

Простая дисперсия:σ 2 = ;

Взвешенная дисперсия: σ 2 = ;

Среднеквадратическое отклонение находит разнообразное применение в практике врача. В симметричном вариационном ряду:

— в пределах (в интервале) M ± 1σ должно находиться 68,37 % всех вариант;

— в пределах M ± 3σ – 99,7 % всех вариант.

В последнем случае определяется самая высокая степень оценки колеблемости данных. Если 95 % всех вариант находится в пределах M ± 2σ, то средняя арифметическая является типичной (увеличивать число случаев не следует).

Правило трех сигм используется также для оценки единичной варианты. Если единичная варианта лежит в пределах:

M ± 1σ – это норма (нормальный рост, масса тела и др.);

M ± 2σ – рост или масса выше или ниже среднего (субнорма);

M ± 3σ – высокий или низкий рост, масса тела (субпатология).

Разновидностью этого приема оценки единичных вариант является вычисление так называемого нормированного отклонения:t(доверительный коэффициент) = , которое позволяет определить, находится ли отклонение варианты от средней в пределах одной, двух или трех сигм, а также направленность (знак) этого отклонения, т.е. сколько сигм составляет отклонение индивидуального признака от средней арифметической:

Коэффициент вариации

Вариация — различие значений какого-либо признака у разных единиц совокупности за один и тот же промежуток времени.

Причиной возникновения вариации являются различные условия существования разных единиц совокупности. Вариация — необходимое условие существования и развития массовых явлений.Определение вариации необходимо при организации выборочного наблюдения, статистическом моделировании и планировании экспертных опросов. По степени вариации можно судить об однородности совокупности, устойчивости значений признака, типичности средней, о взаимосвязи между какими-либо признаками.

Коэффициент вариации (Cv) определяет изменчивость вариационного ряда в процентах и дает возможность судить о качественной однородности изучаемой совокупности.

Коэффициент вариации является относительной мерой разнообразия, так как исчисляется как процентное отношение среднеквадратического отклонения (σ) к средней арифметической величине (M).

Формула коэффициента вариации выглядит следующим образом:

Cv = * 100 %

Коэффициент вариации применяют при сравнении степени разнообразия признаков, имеющих различия в величине признаков или неодинаковую их размерность.

Источник

Экспресс-подготовка к онлайн-тестированию:

для студентов дистанционного обучения, при устройстве на работу, прохождении аттестаций

Сдаешь тесты самостоятельно?

Закажи скайп-консультацию и узнай все секреты успешной сдачи экзаменов онлайн!

Статистика МФПА Тест с ответами

Правильных ответов не менее 95%

Для быстрого поиска по странице нажмите Ctrl+F и в появившемся окошке напечатайте слово запроса (или первые буквы)

В Российской Федерации основные вопросы организации статистического учета регулируются …

Правительством Российской Федерации

+Федеральным законом «Об официальном статистическом учете и системе государственной статистики в Российской Федерации»

Президентом Российской Федерации

Данные об организациях, созданных на территории РФ, их местных единицах, индивидуальных предпринимателях, других типах статистических единиц, являющихся объектами федерального статистического наблюдения, отражаются Росстатом …

в статистических отчетах

+ в Статистическом регистре хозяйствующих субъектов

в статистических публикациях

Объектом статистики является изучение …

взаимосвязи между социально-экономическими явлениями посредством статистических показателей

количественной стороны массовых социально-экономических явлений и процессов

Медианой распределения является …

значение изучаемого признака, повторяющееся с наибольшей частотой

разность между наибольшим и наименьшим значениями варьирующего признака

+ значение признака, приходящееся на середину ранжированной совокупности

Друзья, более 600 собак Воронежского приюта Дора https://vk.com/priyt_dora очень нуждаются в поддержке! Приют бедствует, не хватает средств на корм и лечение. Не откладывайте добрые дела, перечислите прямо сейчас любую сумму на «Голодный телефон» +7 960 111 77 23 или карту сбербанка 4276 8130 1703 0573. По всем вопросам обращаться +7 903 857 05 77 (Шамарин Юрий Иванович)

При сравнении всех уровней ряда динамики с первым уровнем рассчитанные показатели называют …

Основанием группировки может быть … признак

+как качественный, так и количественный

Наибольшее значение признака в интервале называется … границей

Для прогнозирования величины колебания курса доллара на основании изменения цены барреля нефти следует применить … анализ

Признаки, изменяющиеся под воздействием других связанных с ними признаков, называются …

Если число уровней ряда – четное, то показатель времени t методом условного нуля задается как …

Показатель «Отношение затрат на оплату труда топ-менеджеров предприятия к объему затрат на основной персонал предприятия» является примером относительного показателя …

реализации планового задания

Показатель «Курс рубля по отношению к доллару» является примером относительного показателя …

Расчет среднегодовой численности предприятий по данным за 2007–2013 гг. (на 1 января каждого года) следует производить по формуле средней …

2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013

2901 3106 3346 3594 3845 4150 4417

Читайте также:  Первые признаки вич инфекции у женщины

Если объем инвестиционных вложений характеризуется следующим рядом динамики, млн руб. по месяцам 2013 г. (см. таблицу), то средний абсолютный прирост объема инвестирования за последние 3 месяца составляет …

Январь Февраль Март Апрель Май Июнь Июль

90,0 92,0 80,0 78,0 86,0 60,0 80,0

Если для исследования соблюдения регламента взаимодействия с клиентами персоналом торгово-сбытовой компании строится 15-процентная выборка, объектами которой становятся сотрудники по работе с клиентами торговых точек компании, отбираемых пропорционально количеству сотрудников компании в соответствующем федеральном округе РФ, то такое построение выборки характерно для …

систематической (механической) выборки

собственно случайной выборки

повторной выборки любого вида выборочного исследования

+стратифицированной (типической) выборки

Если среднемесячная номинальная начисленная заработная плата работников в Российской Федерации в 2011 году составляла 23369,2 руб., то в этом случае с точки зрения статистических категорий показателем является …

среднемесячная номинальная начисленная заработная плата

Если относительный показатель реализации предприятием плана производства продукции составил 103 %, а объем производства по сравнению с предшествующим периодом вырос на 2 %, значит, план предусматривал … объема производства

В представленном ряду распределения (см. таблицу) модальным является интервал …

Выручка аудиторской фирмы

За I полугодие 2013 года, млн. руб. Число фирм

Размах вариации группировочного признака определяется по формуле …

Статистическая совокупность, все единицы которой близки друг к другу по значениям выбранных для исследования признаков, в статистике называется …

При построении интервальной группировки из 6 групп с минимальным значением группировочного признака, равным 130, и максимальным, равным 250, ширина равного интервала составит …

Если зависимость стоимости рекламного объявления (Y, руб.) от численности читательской аудитории (Х, тыс. чел.) описывается уравнением Yх = 1300 + 5Х и численность аудитории достигнет 10 тыс. чел., то стоимость рекламного объявления составит …

Если в совокупности единиц среднее квадратическое отклонение признака составило 7, а средняя величина этого признака равняется 21, то совокупность единиц по величине данного признака …

Среднее квадратическое отклонение можно рассчитать по формуле …

Абсолютные показатели отображают …

соотношение значений индивидуальных показателей

разницу между значениями индивидуальных показателей

+размеры и характеристики индивидуальных объектов

Темп роста исчисляется как … уровней ряда

Данные приведенной ниже таблицы представляют собой пример … ряда распределения

Распределение акций по величине курса продажи

Курс акции, руб. Число акций

При уменьшении объема выборки величина ее средней ошибки …

При анализе товарооборота супермаркета сводный индекс цен продукции составил 104,5 %. – следовательно, стоимость продукции …

увеличилась на 104,5 %

Если менеджер по персоналу для исследования показателей квартальной производительности труда менеджеров по работе с физическими лицами корпорации извлек систематическую выборку объемом 30 человек из 150 менеджеров, состоящих в штате, то доля отбора составленной им выборки равна …

При функциональной зависимости между Х и Y значение коэффициента корреляции …

Под вариацией понимают изменение …

массовых явлений во времени

состава объектов статистической совокупности

+значений признака у различных единиц совокупности

Расчет средней величины по указанным данным (см. таблицу) следует производить по формуле средней …

Выручка ауд. фирмы Средняя стоимость контракта Федеральный округ

за I пол 2013 г., млн. р. на проведение аудита, млн. р.

Если товарооборот в целом по товарной группе в июне составил 900 тыс. руб., а в мае (при фиксированном объеме реализации на уровне июня) – 850 тыс. руб., это говорит о величине …

+ перерасхода покупателей на 50 тыс. руб. от изменения цен

экономии покупателей на 50 тыс. руб. от изменения себестоимости

перерасхода покупателей на 800 тыс. руб. от изменения цен

Характеристика выборочной совокупности, зависящая от уровня вероятности, с которым гарантируется, что средняя величина признака в генеральной совокупности не выйдет за рассчитанные границы, – это …

+предельная ошибка выборки

средняя ошибка выборки

Чтобы получить относительный показатель динамики с переменной базой сравнения для i-го периода, необходимо …

+разделить значение показателя в i-й период на величину показателя в предшествующий i-му период

разделить значение показателя в период i на значение, соответствующее начальному периоду рассматриваемого ряда динамики

разделить значение показателя в период (i – 1) на значение показателя в период i

числитель исходного соотношения средней величины неизвестен

знаменатель исходного соотношения средней величины известен

+знаменатель исходного соотношения средней величины неизвестен

Единица наблюдения – это

+первичный элемент статистической совокупности, являющийся носителем признаков

элемент математического множества

Отдельное значение группировочного признака, положенного в основание ряда распределена, называют.

числитель исходного соотношения средней величины неизвестен

знаменатель исходного соотношения средней величины известен

+знаменатель исходного соотношения средней величины неизвестен

Структурными средними являются …

Если использовать коэффициент вариации для оценки однородности земельных участков по урожайности

Участок Урожайность, ц/га Посевная площадь, га

то доля участков указанных в ряду распределения будет составлять

произведение уровней ряда

+разность уровней ряда

отношение уровней ряда

+при которой, определенному значению факторного признака соответствует одно значение результативного

между двумя признаками

при которой, определенному значению факторного признака соответствует несколько значений результативного

Коэффициент вариации характеризует:

пределы колеблемости признака

тесноту связи между признаками

диапазон вариации признака

+степень вариации признака

Аналитическое выражение связи определяется с помощью метода анализа

Коэффициент вариации признака составил 25%, средняя величина признака – 25. определите среднее квадратическое отклонение признака:

+среднее квадратическое отклонение

Источник

Средние величины и показатели вариации

Средние величины и общие принципы их вычисления

Средние величины относятся к обобщающим статистическим показателям, которые дают сводную (итоговую) характеристику массовых общественных явлений, так как строятся на основе большого количества индивидуальных значений варьирующего признака. Для выяснения сущности средней величины необходимо рассмотреть особенности формирования значений признаков тех явлений, по данным которых исчисляют среднюю величину.

Известно, что единицы каждого массового явления обладают многочисленными признаками. Какой бы из этих признаков мы ни взяли, его значения у отдельных единиц будут различными, они изменяются, или, как говорят в статистике, варьируют от одной единицы к другой. Так, например, заработная плата работника определяется его квалификацией, характером труда, стажем работы и целым рядом других факторов, поэтому изменяется в весьма широких пределах. Совокупное влияние всех факторов определяет размер заработка каждого работника, тем не менее можно говорить о среднемесячной заработной плате работников разных отраслей экономики. Здесь мы оперируем типичным, характерным значением варьирующего признака, отнесенным к единице многочисленной совокупности.

Средняя величина отражает то общее, что характерно для всех единиц изучаемой совокупности. В то же время она уравновешивает влияние всех факторов, действующих на величину признака отдельных единиц совокупности, как бы взаимно погашая их. Уровень (или размер) любого общественного явления обусловлен действием двух групп факторов. Одни из них являются общими и главными, постоянно действующими, тесно связанными с природой изучаемого явления или процесса, и формируют то типичное для всех единиц изучаемой совокупности, которое и отражается в средней величине. Другие являются индивидуальными, их действие выражено слабее и носит эпизодический, случайный характер. Они действуют в обратном направлении, обусловливают различия между количественными признаками отдельных единиц совокупности, стремясь изменить постоянную величину изучаемых признаков. Действие индивидуальных признаков погашается в средней величине. В совокупном влиянии типичных и индивидуальных факторов, которое уравновешивается и взаимно погашается в обобщающих характеристиках, проявляется в общем виде известный из математической статистики фундаментальный закон больших чисел.

В совокупности индивидуальные значения признаков сливаются в общую массу и как бы растворяются. Отсюда и средняя величина выступает как «обезличенная», которая может отклоняться от индивидуальных значений признаков, не совпадая количественно ни с одним из них. Средняя величина отражает общее, характерное и типичное для всей совокупности благодаря взаимопогашению в ней случайных, нетипичных различий между признаками отдельных ее единиц, так как ее величина определяется как бы общей равнодействующей из всех причин.

Однако для того, чтобы средняя величина отражала наиболее типичное значение признака, она должна определяться не для любых совокупностей, а только для совокупностей, состоящих из качественно однородных единиц. Это требование является основным условием научно обоснованного применения средних величин и предполагает тесную связь метода средних величин и метода группировок в анализе социально-экономических явлений. Следовательно, средняя величина – это обобщающий показатель, характеризующий типичный уровень варьирующего признака в расчете на единицу однородной совокупности в конкретных условиях места и времени.

Определяя, таким образом, сущность средних величин, необходимо подчеркнуть, что правильное исчисление любой средней величины предполагает выполнение следующих требований:

Читайте также:  Ротовирус признаки у взрослых лечение в домашних условиях

Определяющий показатель может выступать в виде суммы значений осредняемого признака, суммы его обратных значений, произведения его значений и т. п. Связь между определяющим показателем и средней величиной выражается в следующем: если все значения осредняемого признака заменить средним значением, то их сумма или произведение в этом случае не изменит определяющего показателя. На основе этой связи определяющего показателя со средней величиной строят исходное количественное отношение для непосредственного расчета средней величины. Способность средних величин сохранять свойства статистических совокупностей называют определяющим свойством.

Средняя величина, рассчитанная в целом по совокупности, называется общей средней; средние величины, рассчитанные для каждой группы, – групповыми средними. Общая средняя отражает общие черты изучаемого явления, групповая средняя дает характеристику явления, складывающуюся в конкретных условиях данной группы.

Способы расчета могут быть разные, поэтому в статистике различают несколько видов средней величины, основными из которых являются средняя арифметическая, средняя гармоническая и средняя геометрическая.

В экономическом анализе использование средних величин является основным инструментом для оценки результатов научно-технического прогресса, социальных мероприятий, поиска резервов развития экономики. В то же время следует помнить о том, что чрезмерное увлечение средними показателями может привести к необъективным выводам при проведении экономико-статистического анализа. Это связано с тем, что средние величины, будучи обобщающими показателями, погашают, игнорируют те различия в количественных признаках отдельных единиц совокупности, которые реально существуют и могут представлять самостоятельный интерес.

Виды средних величин

В статистике используют различные виды средних величин, которые делятся на два больших класса:

Для вычисления степенных средних необходимо использовать все имеющиеся значения признака. Мода и медиана определяются лишь структурой распределения, поэтому их называют структурными, позиционными средними. Медиану и моду часто используют как среднюю характеристику в тех совокупностях, где расчет средней степенной невозможен или нецелесообразен.

Самый распространенный вид средней величины – средняя арифметическая. Под средней арифметической понимается такое значение признака, которое имела бы каждая единица совокупности, если бы общий итог всех значений признака был распределен равномерно между всеми единицами совокупности. Вычисление данной величины сводится к суммированию всех значений варьирующего признака и делению полученной суммы на общее количество единиц совокупности. Например, пять рабочих выполняли заказ на изготовление деталей, при этом первый изготовил 5 деталей, второй – 7, третий – 4, четвертый – 10, пятый– 12. Поскольку в исходных данных значение каждого варианта встречалось только один раз, для определения средней выработки одного рабочего следует применить формулу простой средней арифметической:

т. е. в нашем примере средняя выработка одного рабочего равна

Наряду с простой средней арифметической изучают среднюю арифметическую взвешенную. Например, рассчитаем средний возраст студентов в группе из 20 человек, возраст которых варьируется от 18 до 22 лет, где xi – варианты осредняемого признака, fi – частота, которая показывает, сколько раз встречается i-е значение в совокупности (табл. 5.1).

Средний возраст студентов

Применяя формулу средней арифметической взвешенной, получаем:

Для выбора средней арифметической взвешенной существует определенное правило: если имеется ряд данных по двум показателям, для одного из которых надо вычислить

среднюю величину, и при этом известны численные значения знаменателя ее логической формулы, а значения числителя неизвестны, но могут быть найдены как произведение этих показателей, то средняя величина должна высчитывать-ся по формуле средней арифметической взвешенной.

В некоторых случаях характер исходных статистических данных таков, что расчет средней арифметической теряет смысл и единственным обобщающим показателем может служить только другой вид средней величины – средняя гармоническая. В настоящее время вычислительные свойства средней арифметической потеряли свою актуальность при расчете обобщающих статистических показателей в связи с повсеместным внедрением электронно-вычислительной техники. Большое практическое значение приобрела средняя гармоническая величина, которая тоже бывает простой и взвешенной. Если известны численные значения числителя логической формулы, а значения знаменателя неизвестны, но могут быть найдены как частное деление одного показателя на другой, то средняя величина вычисляется по формуле средней гармонической взвешенной.

Например, пусть известно, что автомобиль прошел первые 210 км со скоростью 70 км/ч, а оставшиеся 150 км со скоростью 75 км/ч. Определить среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути в 360 км, используя формулу средней арифметической, нельзя. Так как вариантами являются скорости на отдельных участках xj = 70 км/ч и Х2 = 75 км/ч, а весами (fi) считаются соответствующие отрезки пути, то произведения вариантов на веса не будут иметь ни физического, ни экономического смысла. В данном случае смысл приобретают частные от деления отрезков пути на соответствующие скорости (варианты xi), т. е. затраты времени на прохождение отдельных участков пути (fi/xi). Если отрезки пути обозначить через fi, то весь путь выразиться как Σfi, а время, затраченное на весь путь, – как Σ fi/xi , Тогда средняя скорость может быть найдена как частное от деления всего пути на общие затраты времени:

В нашем примере получим:

Если при использовании средней гармонической веса всех вариантов (f) равны, то вместо взвешенной можно использовать простую (невзвешенную) среднюю гармоническую:

где xi – отдельные варианты; n – число вариантов осредняемого признака. В примере со скоростью простую среднюю гармоническую можно было бы применить, если бы были равны отрезки пути, пройденные с разной скоростью.

Любая средняя величина должна вычисляться так, чтобы при замене ею каждого варианта осредняемого признака не изменялась величина некоторого итогового, обобщающего показателя, который связан с осредняемым показателем. Так, при замене фактических скоростей на отдельных отрезках пути их средней величиной (средней скоростью) не должно измениться общее расстояние.

Форма (формула) средней величины определяется характером (механизмом) взаимосвязи этого итогового показателя с осредняемым, поэтому итоговый показатель, величина которого не должна изменяться при замене вариантов их средней величиной, называется определяющим показателем. Для вывода формулы средней нужно составить и решить уравнение, используя взаимосвязь осредняемого показателя с определяющим. Это уравнение строится путем замены вариантов осредняемого признака (показателя) их средней величиной.

Кроме средней арифметической и средней гармонической в статистике используются и другие виды (формы) средней величины. Все они являются частными случаями степенной средней. Если рассчитывать все виды степенных средних величин для одних и тех же данных, то значения

их окажутся одинаковыми, здесь действует правило мажо-рантности средних. С увеличением показателя степени средних увеличивается и сама средняя величина. Наиболее часто применяемые в практических исследованиях формулы вычисления различных видов степенных средних величин представлены в табл. 5.2.

Виды степенных средних

Средняя геометрическая применяется, когда имеется n коэффициентов роста, при этом индивидуальные значения признака представляют собой, как правило, относительные величины динамики, построенные в виде цепных величин, как отношение к предыдущему уровню каждого уровня в ряду динамики. Средняя характеризует, таким образом, средний коэффициент роста. Средняя геометрическая простая рассчитывается по формуле

Формула средней геометрической взвешенной имеет следующий вид:

Приведенные формулы идентичны, но одна применяется при текущих коэффициентах или темпах роста, а вторая – при абсолютных значениях уровней ряда.

Средняя квадратическая применяется при расчете с величинами квадратных функций, используется для измерения степени колеблемости индивидуальных значений признака вокруг средней арифметической в рядах распределения и вычисляется по формуле

Средняя квадратическая взвешенная рассчитывается по другой формуле:

Средняя кубическая применяется при расчете с величинами кубических функций и вычисляется по формуле

средняя кубическая взвешенная:

Все рассмотренные выше средние величины могут быть представлены в виде общей формулы:

где – средняя величина; – индивидуальное значение; n – число единиц изучаемой совокупности; k – показатель степени, определяющий вид средней.

При использовании одних и тех же исходных данных, чем больше k в общей формуле степенной средней, тем больше средняя величина. Из этого следует, что между величинами степенных средних существует закономерное соотношение:

Средние величины, описанные выше, дают обобщенное представление об изучаемой совокупности и с этой точки зрения их теоретическое, прикладное и познавательное значение бесспорно. Но бывает, что величина средней не совпадает ни с одним из реально существующих вариантов, поэтому кроме рассмотренных средних в статистическом анализе целесообразно использовать величины конкретных вариантов, занимающие в упорядоченном (ранжированном) ряду значений признака вполне определенное положение. Среди таких величин наиболее употребительными являются структурные, или описательные, средние – мода (Мо) и медиана (Ме).

Мода – величина признака, которая чаще всего встречается в данной совокупности. Применительно к вариационному ряду модой является наиболее часто встречающееся значение ранжированного ряда, т. е. вариант, обладающий наибольшей частотой. Мода может применяться при определении магазинов, которые чаще посещаются, наиболее распространенной цены на какой-либо товар. Она показывает размер признака, свойственный значительной части совокупности, и определяется по формуле

Читайте также:  Ребенок жалуется на боль в глазах признак какой болезни

где х0 – нижняя граница интервала; h – величина интервала; fm – частота интервала; fm_1 – частота предшествующего интервала; fm+1 – частота следующего интервала.

Медианой называется вариант, расположенный в центре ранжированного ряда. Медиана делит ряд на две равные части таким образом, что по обе стороны от нее находится одинаковое количество единиц совокупности. При этом у одной половины единиц совокупности значение варьирующего признака меньше медианы, у другой – больше ее. Медиана используется при изучении элемента, значение которого больше или равно или одновременно меньше или равно половине элементов ряда распределения. Медиана дает общее представление о том, где сосредоточены значения признака, иными словами, где находится их центр.

Описательный характер медианы проявляется в том, что она характеризует количественную границу значений варьирующего признака, которыми обладает половина единиц совокупности. Задача нахождения медианы для дискретного вариационного ряда решается просто. Если всем единицам ряда придать порядковые номера, то порядковый номер медианного варианта определяется как (п +1) / 2 с нечетным числом членов п. Если же количество членов ряда является четным числом, то медианой будет являться среднее значение двух вариантов, имеющих порядковые номера n / 2 и n / 2 + 1.

При определении медианы в интервальных вариационных рядах сначала определяется интервал, в котором она находится (медианный интервал). Этот интервал характерен тем, что его накопленная сумма частот равна или превышает полусумму всех частот ряда. Расчет медианы интервального вариационного ряда производится по формуле

где X0 – нижняя граница интервала; h – величина интервала; fm – частота интервала; f– число членов ряда;

∫m-1 – сумма накопленных членов ряда, предшествующих данному.

Наряду с медианой для более полной характеристики структуры изучаемой совокупности применяют и другие значения вариантов, занимающих в ранжированном ряду вполне определенное положение. К ним относятся квартили и децили. Квартили делят ряд по сумме частот на 4 равные части, а децили – на 10 равных частей. Квартилей насчитывается три, а децилей – девять.

Медиана и мода в отличие от средней арифметической не погашают индивидуальных различий в значениях варьирующего признака и поэтому являются дополнительными и очень важными характеристиками статистической совокупности. На практике они часто используются вместо средней либо наряду с ней. Особенно целесообразно вычислять медиану и моду в тех случаях, когда изучаемая совокупность содержит некоторое количество единиц с очень большим или очень малым значением варьирующего признака. Эти, не очень характерные для совокупности значения вариантов, влияя на величину средней арифметической, не влияют на значения медианы и моды, что делает последние очень ценными для экономико-статистического анализа показателями.

Показатели вариации

Целью статистического исследования является выявление основных свойств и закономерностей изучаемой статистической совокупности. В процессе сводной обработки данных статистического наблюдения строят ряды распределения. Различают два типа рядов распределения – атрибутивные и вариационные, в зависимости от того, является ли признак, взятый за основу группировки, качественным или количественным.

Вариационными называют ряды распределения, построенные по количественному признаку. Значения количественных признаков у отдельных единиц совокупности не постоянны, более или менее различаются между собой. Такое различие в величине признака носит название вариации. Отдельные числовые значения признака, встречающиеся в изучаемой совокупности, называют вариантами значений. Наличие вариации у отдельных единиц совокупности обусловлено влиянием большого числа факторов на формирование уровня признака. Изучение характера и степени вариации признаков у отдельных единиц совокупности является важнейшим вопросом всякого статистического исследования. Для описания меры изменчивости признаков используют показатели вариации.

Другой важной задачей статистического исследования является определение роли отдельных факторов или их групп в вариации тех или иных признаков совокупности. Для решения такой задачи в статистике применяются специальные методы исследования вариации, основанные на использовании системы показателей, с помощью которых измеряется вариация. В практике исследователь сталкивается с достаточно большим количеством вариантов значений признака, что не дает представления о распределении единиц по величине признака в совокупности. Для этого проводят расположение всех вариантов значений признака в возрастающем или убывающем порядке. Этот процесс называют ранжированием ряда. Ранжированный ряд сразу дает общее представление о значениях, которые принимает признак в совокупности.

Недостаточность средней величины для исчерпывающей характеристики совокупности заставляет дополнять средние величины показателями, позволяющими оценить типичность этих средних путем измерения колеблемости (вариации) изучаемого признака. Использование этих показателей вариации дает возможность сделать статистический анализ более полным и содержательным и тем самым глубже понять сущность изучаемых общественных явлений.

Самыми простыми признаками вариации являются минимум и максимум – это наименьшее и наибольшее значение признака в совокупности. Число повторений отдельных вариантов значений признаков называют частотой повторения. Обозначим частоту повторения значения признака fi, сумма частот, равная объему изучаемой совокупности будет:

где k – число вариантов значений признака. Частоты удобно заменять частостями – wi. Частость – относительный показатель частоты – может быть выражен в долях единицы или процентах и позволяет сопоставлять вариационные ряды с различным числом наблюдений. Формально имеем:

Для измерения вариации признака применяются различные абсолютные и относительные показатели. К абсолютным показателям вариации относятся среднее линейное отклонение, размах вариации, дисперсия, среднее квадратическое отклонение.

Размах вариации (R) представляет собой разность между максимальным и минимальным значениями признака в изучаемой совокупности: R = Xmax – Xmin. Этот показатель дает лишь самое общее представление о колеблемости изучаемого признака, так как показывает разницу только между предельными значениями вариантов. Он совершенно не связан с частотами в вариационном ряду, т. е. с характером распределения, а его зависимость может придавать ему неустойчивый, случайный характер только от крайних значений признака. Размах вариации не дает никакой информации об особенностях исследуемых совокупностей и не позволяет оценить степень типичности полученных средних величин. Область применения этого показателя ограничена достаточно однородными совокупностями, точнее, характеризует вариацию признака показатель, основанный на учете изменчивости всех значений признака.

Для характеристики вариации признака нужно обобщить отклонения всех значений от какой-либо типичной для изучаемой совокупности величины. Такие показатели

вариации, как среднее линейное отклонение, дисперсия и среднее квадратическое отклонение, основаны на рассмотрении отклонений значений признака отдельных единиц совокупности от средней арифметической.

Среднее линейное отклонение представляет собой среднюю арифметическую из абсолютных значений отклонений отдельных вариантов от их средней арифметической:

– абсолютное значение (модуль) отклонения варианта от средней арифметической; f– частота.

Первая формула применяется, если каждый из вариантов встречается в совокупности только один раз, а вторая – в рядах с неравными частотами.

Существует и другой способ усреднения отклонений вариантов от средней арифметической. Этот очень распространенный в статистике способ сводится к расчету квадратов отклонений вариантов от средней величины с их последующим усреднением. При этом мы получаем новый показатель вариации – дисперсию.

Дисперсия (σ 2 ) – средняя из квадратов отклонений вариантов значений признака от их средней величины:

Вторая формула применяется при наличии у вариантов своих весов (или частот вариационного ряда).

В экономико-статистическом анализе вариацию признака принято оценивать чаще всего с помощью среднего квадратического отклонения. Среднее квадратическое отклонение (σ) представляет собой корень квадратный из дисперсии:

Среднее линейное и среднее квадратическое отклонения показывают, на сколько в среднем колеблется величина признака у единиц исследуемой совокупности, и выражаются в тех же единицах измерения, что и варианты.

В статистической практике часто возникает необходимость сравнения вариации различных признаков. Например, большой интерес представляет сравнение вариаций возраста персонала и его квалификации, стажа работы и размера заработной платы и т. д. Для подобных сопоставлений показатели абсолютной колеблемости признаков – среднее линейное и среднее квадртическое отклонение – не пригодны. Нельзя, в самом деле, сравнивать колеблемость стажа работы, выражаемую в годах, с колеблемостью заработной платы, выражаемой в рублях и копейках.

При сравнении изменчивости различных признаков в совокупности удобно применять относительные показатели вариации. Эти показатели вычисляются как отношение абсолютных показателей к средней арифметической (или медиане). Используя в качестве абсолютного показателя вариации размах вариации, среднее линейное отклонение, среднее квадратическое отклонение, получают относительные показатели колеблемости:

– наиболее часто применяемый показатель относительной колеблемости, характеризующий однородность совокупности. Совокупность считается однородной, если коэффициент вариации не превышает 33 % для распределений, близких к нормальному.

Источник