Геометрия по атанасяну свойства и признаки параллелограмма

Параллелограмм. Свойства и признаки параллелограмма

Определение параллелограмма

Параллелограмм – четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

Свойства параллелограмма

1. Противоположные стороны параллелограмма попарно равны

2. Противоположные углы параллелограмма попарно равны

3. Сумма смежных (соседних) углов параллелограмма равна 180 градусов

4. Сумма всех углов равна 360°

5. Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам

6. Точка пересечения диагоналей является центром симметрии параллелограмма

7. Диагонали параллелограмма и стороны
связаны следующим соотношением:

8. Биссектриса отсекает от параллелограмма равнобедренный треугольник

Признаки параллелограмма

Четырехугольник является параллелограммом, если выполняется хотя бы одно из следующих условий:

1. Противоположные стороны попарно равны:

2. Противоположные углы попарно равны:

3. Диагонали пересекаются и в точке пересечения делятся пополам

4. Противоположные стороны равны и параллельны:

5.

Небольшой видеоролик о свойствах параллелограмма (в том числе ромба, прямоугольника, квадрата) и о том, как эти свойства применяются в задачах:

Формулы площади параллелограмма смотрите здесь.

Хорошую подборку задач на нахождение углов и длин в параллелограмме смотрите здесь.

Источник

Конспект урока по геометрии 8 класса Атанасян Параллелограмм и его свойства
план-конспект урока по геометрии (8 класс)

Цель урока: ввести понятие параллелограмма, сформулировать его свойства и закрепить их в ходе решения задач.

Образовательные задачи урока:

организовать работу учащихся по изучению нового материала: основных теоретических вопросов темы и основных типов задач;

Развивающие задачи урока:

Воспитательные задачи урока:

Скачать:

Предварительный просмотр:

Разработка урока с применением интерактивной доски.

Тема: «Параллелограмм и его свойства»

учебник Атанасян Л.С. «Геометрия 7 – 9»

Цель урока : ввести понятие параллелограмма, сформулировать его свойства и закрепить их в ходе решения задач.

Образовательные задачи урока :

организовать работу учащихся по изучению нового материала: основных теоретических вопросов темы и основных типов задач;

Развивающие задачи урока:

Воспитательные задачи урока:

Основные этапы урока

Учащимся предлагаются задания в виде самостоятельной работы по заготовленным листам в двух вариантах (файл «Раздаточный материал»).

Работы учеников собираются, после чего проводится проверка, с помощью заготовленной таблички с ответами, которая поднимается вверх учителем.

Рассмотрим практическую задачу: «Житель села Желтура Джидинского района, переплыв реку, планирует пристать к берегу в отмеченном флажком месте. Возможно ли это?»

Какая геометрическая фигура используется во всех случаях (четырехугольник). А что особенного в этом четырехугольнике?

Назовите вершины параллелограмма, стороны, диагонали (ответы скрыты с помощью анимации, появляются при щелчке по объекту).

Слайд 6 : Какой из четырехугольников, изображенных на рисунке, является параллелограммом? [1; 4]

Почему второй многоугольник не является параллелограммом? (Это треугольник)

Четвёртый? (Две стороны не параллельны).

Эти многоугольники исчезают с помощью анимации, при щелчке по объекту.

Можно ли утверждать, что оставшиеся четырехугольники являются параллелограммами? (Нет, т. к. не хватает условия параллельности сторон. Добавить условие к первому чертежу). KMFE – параллелограмм, т. к. MК ||ЕF, ME ||KF. Четырехугольник ХУNP параллелограммом назвать нельзя.

Изменится ли вид четырехугольника при движении одной из вершин?

Переход в видеофайл.

Слайд 7 : Какими же свойствами обладает параллелограмм? Проведем 3 эксперимента, Ваша задача – в опорном конспекте на каждом чертеже отметить пары равных элементов и записать их равенство. Нажав на значок переходим в программу “Живая геометрия”:

Слайд 8 : Сформулируйте три гипотезы (свойства параллелограмма). Формулировки гипотез появляются при щелчке по объекту. Докажем выдвинутые 1 и 2 гипотезы, так как

Слайд 9 : “В математике, как ни в какой другой области, не принимают ничего на веру, здесь требуются доказательства”.

Слайд 10 : Докажите первую гипотезу.

В зависимости от подготовки класса, возможно, организовать доказательство тремя способами:

Слайд 11 : Докажите вторую гипотезу.

На слайде сразу воспроизведена та часть доказательства, которая доказана в первом случае. Возможно, организовать доказательство так же тремя способами:

Слайд 12 : Дается формулировка свойств параллелограмма.

Возможны различные способы решения данной задачи. В ходе обсуждение выбирается рациональный. Он появляется с помощью анимации, при щелчке по объекту. С помощью значка «галка» учащимся открываем формулу для нахождения периметра параллелограмма.

Ход решения данной задачи обсуждаем фронтально. Учитель показывает грамотно оформленное полное решение, используя анимацию объекта «появление».

Итог решения задачи – свойство углов параллелограмма прилежащих к одной стороне (значок «галочка»).

Решение данной задачи начинается с обсуждения связи между сторонами параллелограмма.

Как связаны между собой стороны данного параллелограмма? Как можно записать эту связь в виде равенства?

обсуждаем фронтально. Результат проверятся с помощью заготовки («галка»).

В том случае если позволяет время можно решить с ребятами ещё одну задачу (переход по ссылке ). А затем выполнить тест (переход на страницу теста ).

Слайд 16 : Проверим как же усвоен материал данной темы.

Учащимся предлагается небольшой тест на воспроизведение и закрепление полученных знаний. Flahs файл из коллекции доски SMART.

Источник

Параллелограмм: свойства и признаки

Определение параллелограмма

Параллелограмм — это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Как выглядит параллелограмм:

Частные случаи параллелограмма: ромб, прямоугольник, квадрат.

Диагонали — отрезки, которые соединяют противоположные вершины.

Свойства диагоналей параллелограмма:

Биссектриса параллелограмма — это отрезок, который соединяет вершину с точкой на одной из двух противоположных сторон и делит угол при вершине пополам.

Свойства биссектрисы параллелограмма:

Как найти площадь параллелограмма:

Периметр параллелограмма — сумма длины и ширины, умноженная на два.

P = 2 * (a + b), где a — ширина, b — высота.

Приходите решать увлекательные задачки с красочными героями и в интерактивном формате. Запишите вашего ребенка на бесплатный пробный урок математики в онлайн-школу Skysmart: познакомимся, покажем, как все устроено на платформе и наметим вдохновляющую программу обучения.

У нас есть отличные дополнительные занятия по математике! Для учеников с 1 по 11 классы!

Свойства параллелограмма

Геометрическая фигура — это любое множество точек. У каждой фигуры есть свои свойства, которые отличают их между собой и помогают решать задачи по геометрии в 8 классе.

Рассмотрим основные свойства диагоналей и углов параллелограмма, узнаем чему равна сумма углов параллелограмма и другие особенности этой фигуры. Вот они:

А сейчас докажем теорему, которая основана на первых двух свойствах.

Теорема 1. В параллелограмме противоположные стороны и противоположные углы равны.

В любом выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются. Все, что мы знаем о точке их пересечения — это то, что она лежит внутри четырехугольника.

Если мы проведем обе диагонали в параллелограмме, точка пересечения разделит их пополам. Убедимся, так ли это:

Теорема доказана. Наше предположение верно.

Признаки параллелограмма

Признаки параллелограмма помогают распознать эту фигуру среди других четырехугольников. Сформулируем три основных признака.

Первый признак параллелограмма. Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Докажем 1 признак параллелограмма:

Шаг 1. Пусть в четырехугольнике ABCD:

Чтобы назвать этот четырехугольник параллелограммом, нужно внимательно рассмотреть его стороны.

Сейчас мы видим одну пару параллельных сторон. Нужно доказать, что вторая пара сторон тоже параллельна.

Шаг 2. Проведем диагональ. Получились два треугольника ABC и CDA, которые равны по первому признаку равенства, то есть по по двум сторонам и углу между ними:

Шаг 3. Из равенства треугольников также следует:

Эти углы тоже являются внутренними накрест лежащими для прямых CB и AD. А это как раз и есть признак параллельности прямых. Значит, CB || AD и ABCD — параллелограмм.

Вот так быстро мы доказали первый признак.

Второй признак параллелограмма. Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Докажем 2 признак параллелограмма:

Шаг 1. Пусть в четырехугольнике ABCD:

Шаг 2. Рассмотрим треугольники ABC и ADC:

Из этого следует, что треугольники ABC и ADC равны по третьему признаку, а именно по трем сторонам.

Шаг 3. Из равенства треугольников следует:

А так как эти углы накрест лежащие при верхней и нижней сторонах и секущей диагонали, значит верхняя и нижняя стороны параллельны.

Эти углы накрест лежащие при боковых сторонах и секущей диагонали. Поэтому боковые стороны четырёхугольника тоже параллельны. Значит четырёхугольник ABCD — параллелограмм, ЧТД.

Доказали второй признак.

Третий признак параллелограмма. Если в четырехугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Докажем 3 признак параллелограмма:

Шаг 1. Если диагонали четырехугольника ABCD делятся пополам точкой O, то треугольник AOB равен треугольнику COD по двум сторонам и углу между ними:

Шаг 2. Из равенства треугольников следует, что CD = AB.

Эти стороны параллельны CD || AB, по равенству накрест лежащиз углов ∠1 = ∠2.

Значит, ABCD является параллелограммом по первому признаку, который мы доказали ранее. Что и требовалось доказать.

Теперь мы знаем свойства параллелограмма и то, что выделяет его среди других четырехугольников — признаки. Так как они совпадают, эти формулировки можно использовать для определения параллелограмма. Но самое распространенное определение все таки связано с параллельностью противоположных сторон.

Чтобы ребенок еще лучше учился в школе, запишите его на уроки математики в детскую школу Skysmart. Наши преподаватели понятно объяснят что угодно — от дробей до синусов — и ответят на вопросы, которые бывает неловко задать перед всем классом. А еще помогут догнать сверстников и справиться со сложной контрольной.

Источник

Геометрия по атанасяну свойства и признаки параллелограмма

Геометрия 8 класс (УМК Атанасян). Решение задач по теме «Параллелограмм» с ответами. Ориентировано на работу с базовым учебником: «Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф. и др. Геометрия. 7—9 классы. М.: Просвещение». Урок 7. Решение задач: Параллелограмм

Геометрия 8 класс. Урок 7.
Решение задач по теме «Параллелограмм»

Основные дидактические цели урока: закрепить свойства и признаки параллелограмма в процессе решения задач; совершенствовать навыки решения задач.

Ход урока

I. Организационный момент. Мотивация к учебной деятельности

(Учитель сообщает тему урока, формулирует цели урока.)

II. Актуализация знаний учащихся

1. Работа у доски.

(Три ученика готовят у доски доказательства признаков параллелограмма.)

2. Проверка домашнего задания.

(Учитель проверяет решение задачи № 373. Один ученик готовит решение задачи на доске. Решение заслушать после проверки задач по готовым чертежам.)

Задача № 373. Периметр параллелограмма ABCD равен 50 см, ∠C = 30°, а перпендикуляр ВН к прямой CD равен 6,5 см. Найдите стороны параллелограмма.
Решение: В ΔВСН ∠H = 90°, ∠C = 30°, следовательно, ВС = 2 • НВ, т. е. ВС = 13 см (рис. 5.51). P_ABCD = АВ + ВС + CD + DA, АВ = DC, ВС = DA как противолежащие стороны параллелограмма, значит, 2 • АВ + 13 • 2 = 50. Таким образом, АВ = 12 см, тогда CD = АВ = 12 см, AD = ВС = = 13 см.
Ответ: АВ = CD = 12 см, AD = ВС = 13 см.

Наводящие вопросы.
– Что можно сказать о треугольнике ВСН. Можно ли найти другие его стороны?
– Как найти стороны параллелограмма, если известно, что периметр параллелограмма равен 50 см.

3. Работа по индивидуальным карточкам.

(3–6 учеников работают по карточкам.)

I уровень сложности
1. Точки Е и К – середины сторон АВ и CD параллелограмма ABCD. Докажите, что АЕСК – параллелограмм.
2. Диагонали четырехугольника ABCD пересекаются в точке О, причем АС = 2 дм, АО = 10 см, BD = 1,5 дм, ВО = 7 см. Выясните, является ли ABCD параллелограммом?

II уровень сложности
1. В параллелограмме ABCD на сторонах АВ и CD отмечены соответственно точки М и N так, что ∠BMC = ∠AND. Докажите, что AMCN – параллелограмм.
2. Точки А и В делят диагональ МК параллелограмма MNKP на три равные части. Является ли четырехугольник ANBP параллелограммом? Ответ обоснуйте.

III уровень сложности
1. Дано: ABCD – параллелограмм, AM = СК, АР = CN (рис. 5.52). Доказать: MNKP – параллелограмм.
2. Через точку пересечения диагоналей О параллелограмма ABCD проведена прямая MN, пересекающая стороны AD и ВС в точках М и N соответственно. Является ли MBND параллелограммом? Ответ обоснуйте.

4. Решение задач по готовым чертежам.

(Ученики решают задачи с последующей самопроверкой по готовым ответам. В это время учитель может заслушать доказательства признаков параллелограмма и проверить решение дополнительных домашних задач индивидуально у тех учащихся, которые их решали.)

(После окончания самостоятельного решения задач и самопроверки по готовым ответам выполняется самооценка.) Критерии оценивания:

Ответы к задачам по готовым чертежам:

5. Проверка решения дополнительных домашних задач.

I уровень сложности: В выпуклом четырехугольнике ABCD АВ = CD, ∠В = 70°, ∠BCA = 60°, ∠ACD = 50°. Докажите, что ВС = AD.

Решение. (рис. 5.62) ∠BCD = ∠BCA + ∠ACD = 60° + 50° = 110°.
∠ABC и ∠BCD – односторонние углы при прямых CD и АВ и секущей ВС. ∠ABC + ∠BCD = 70° + 110° = 180°, значит, CD || AB.
В четырехугольнике ABCD противолежащие стороны АВ и CD параллельны и равны, следовательно, ABCD – параллелограмм, а это значит, что ВС = AD как противолежащие стороны параллелограмма.

II уровень сложности: Через точку пересечения диагоналей параллелограмма ABCD проведены две прямые. Одна из них пересекает стороны АВ и CD соответственно в точках М и К, вторая – стороны ВС и AD соответственно в точках N и L. Докажите, что четырехугольник MNKL – параллелограмм.

Решение. (рис. 5.63)
а) ΔAOL = ΔCON по стороне и прилежащим к ней углам (АО = СО, так как диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, ∠AOL = ∠CON как вертикальные, ∠NCO = ∠LAO как накрест лежащие при параллельных прямых ВС и AD и секущей АС), тогда NO = LO.
б) ΔBOM = ΔDOК по стороне и прилежащим к ней углам (ВО = DO, так как диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, ∠BOM = ∠DOK как вертикальные, ∠MBO = ∠KDO как накрест лежащие при параллельных прямых АВ и CD и секущей BD), тогда МО = КО.
в) В четырехугольнике MNKL диагонали МК и NL точкой пересечения делятся пополам (МО = КО, NO = АО), следовательно, MNKL – параллелограмм.

III. Решение задач

Решить задачи № 374, 377 (выполнить рисунок и записать краткое решение). (Два ученика работают у доски, остальные – в тетрадях. По окончании работы учащиеся слушают решения задач, а затем исправляют ошибки.)

Задача № 374. Биссектриса угла А параллелограмма ABCD пересекает сторону ВС в точке К. Найдите периметр этого параллелограмма, если ВК = 15 см, КС = 9 см.
Решение: ΔАВК – равнобедренный, АВ = ВК = CD = 15 см, ВС = AD = 15 + 9 = 24 см, P_ABCD = (15 + 24) • 2 = 78 см (рис. 5.64). Ответ: 78 см.

Наводящие вопросы.
– Что можно сказать о ΔАВК, если АК – биссектриса ∠BAD параллелограмма ABCD?
– Чему равны стороны параллелограмма ABCD? Чему равен его периметр?

Задача № 377. В параллелограмме MNPQ проведён перпендикуляр NH к прямой MQ, причём точка Н лежит на стороне MQ. Найдите стороны и углы параллелограмма, если известно, что МН = 3 см, HQ = 5 см, ∠MNH = 30°.
Решение: В ΔMNH ∠H = 90°, ∠N = 30°, MN = 3 см, следовательно, MN = 6 см (рис. 5.65). MNPQ – параллелограмм, следовательно, MN = PQ = 6 см, NP = MQ = 8 см.
Ответ: MN = PQ – 6 см, NP = MQ = 8 см.

Наводящие вопросы.
– Что можно сказать о AMNH? Какую из его сторон можно найти?
– Найдите стороны параллелограмма MNPQ.

IV. Самостоятельная работа № 2 (3 уровня сложности)

Задания I уровня сложности предлагаются менее подготовленным учащимся, задания III уровня сложности – самым подготовленным, задания II уровня сложности – всем остальным, что составляет большинство класса. Учащихся, выполняющих задания I и III уровня, необходимо предупредить о критериях оценивания их работ. Правильное решение всех заданий I уровня может быть оценено максимально в 4 балла, для получения 5 баллов, решающим задания III уровня, необходимо правильно решить или решить с негрубыми ошибками третье задание. Учащиеся сами выбирают уровень сложности.

V. Рефлексия учебной деятельности

Домашнее задание

Вы смотрели: Геометрия 8 класс (УМК Атанасян). Урок 7. Решение задач: Параллелограмм с ответами. Ориентировано на работу с базовым учебником: «Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф. и др. Геометрия. 7-9 классы. Учебник для общеобразовательных организаций. М.: Просвещение». В учебных целях использованы цитаты из пособия «Поурочные разработки по геометрии. 8 класс / Гаврилова Н.Ф. — М.: ВАКО».

Источник

Урок геометрии в 8 классе «Признаки параллелограмма»
методическая разработка по геометрии (8 класс) по теме

Краткая аннотация

урока геометрии в 8 классе

по теме

«Признаки параллелограмма» (по учебнику Атанасяна)

Урок разработан с применением доски Interwrite Board.

Урок геометрии в 8 классе по теме «Признаки параллелограмма» 6-ой в системе уроков по теме «Четырёхугольники», реально отражающий учебный план и оптимально соответствующий программе, учебник – Атанасяна Л. С.. Это комбинированный урок, где помимо изучения нового материала предусмотрен материал и для закрепления ранее изученного. Он ориентирован не только на усвоение новых теоретических знаний, но и на воспроизведение уже имеющихся, на закрепление ведущих умений из раздела «Четырёхугольники». Изучение нового материала происходит с опорой на личный опыт учащихся. Изученный материал сначала закрепляется на основе задач устного характера. На уроке используются различные методы: актуализация знаний, самостоятельная работа, выполнение заданий с использованием интерактивной доски, групповая работа. Урок динамичен, использование различных форм и методов, использование проблемных ситуаций позволяет активизировать познавательную деятельность учащихся на протяжении всего урока.

Перечень прилагаемых материалов:

а) план – конспект урока,

б) карточки для проведения устной работы, созданные программными средствами интерактивной доски,

Скачать:

Предварительный просмотр:

урока геометрии в 8 классе

«Признаки параллелограмма» (по учебнику Атанасяна)

Урок разработан с применением доски Interwrite Board.

Урок геометрии в 8 классе по теме «Признаки параллелограмма» 6-ой в системе уроков по теме «Четырёхугольники», реально отражающий учебный план и оптимально соответствующий программе, учебник – Атанасяна Л. С.. Это комбинированный урок, где помимо изучения нового материала предусмотрен материал и для закрепления ранее изученного. Он ориентирован не только на усвоение новых теоретических знаний, но и на воспроизведение уже имеющихся, на закрепление ведущих умений из раздела «Четырёхугольники». Изучение нового материала происходит с опорой на личный опыт учащихся. Изученный материал сначала закрепляется на основе задач устного характера. На уроке используются различные методы: актуализация знаний, самостоятельная работа, выполнение заданий с использованием интерактивной доски, групповая работа. Урок динамичен, использование различных форм и методов, использование проблемных ситуаций позволяет активизировать познавательную деятельность учащихся на протяжении всего урока.

Перечень прилагаемых материалов:

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Материал содержит приложения к урокам геометрии в 8 кл. в виде анимированных доказательств свойств и признаков параллелограмма.

Краткая аннотация урока геометрии в 8 классе по теме «Признаки параллелограмма» (по учебнику Атанасяна)Урок разработан с применением доски InterwriteBoard.Урок геометрии в 8 классе по теме «.

Урок разработан с применением доски InterwriteBoard.Урок геометрии в 8 классе по теме «Признаки параллелограмма» 6-ой в системе уроков по теме «Четырёхугольники», реально отражающий учебный план и опт.

Урок геометрии по теме » Параллелограмм» 8 класс- объяснение нового материала.

Презентация для открытого урока по геометрии 8 класс тема «Площадь параллелограмма».

Технологическая карта урока соответствует требованиям ФГОС и является методической разработкой урока. Ожидаемые результаты учебного занятия:Предметные: уметь объяснять, какой четырехугольник явля.

Конспект открытого урока в 8 классе по ФГОС умк А.Д.Александров геометрия. Категория урока: открытие новых знаний. Тема: «Параллелограмм».

Источник