Атанасян доказательство первого признака равенства треугольников

Первый признак равенства треугольников

В математике каждое утверждение, справедливость которого устанавливается путём рассуждений, называется теоремой, а сами рассуждения называются доказательством теоремы. Фактически мы уже имели дело с теоремами и их доказательствами. Так, утверждение о равенстве вертикальных углов является теоремой, а рассуждения, которые мы провели, чтобы установить равенство вертикальных углов, и есть доказательство этой теоремы. В этом параграфе мы докажем одну из теорем о равенстве треугольников.

Теорема

Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство

Рассмотрим треугольники АВС и А1В1С1, у которых АВ = А1В1, АС = А1С1, углы А и А1 равны (рис. 51). Докажем, что АВС = А1В1С1.

Так как ∠A = ∠A1, то треугольник АВС можно наложить на треугольник А1В1С1 так, что вершина А совместится с вершиной А1, а стороны АВ и АС наложатся соответственно на лучи А1В1 и А1С1. Поскольку АВ = А1В1, АС = А1С1, то сторона АВ совместится со стороной А1В1, а сторона АС — со стороной А1С1; в частности, совместятся точки В и В1, С и С1. Следовательно, совместятся стороны ВС и В1С1. Итак, треугольники АВС и А1В1С1 полностью совместятся, значит, они равны. Теорема доказана.

Доказанная теорема выражает признак (равенство у треугольников двух сторон и угла между ними), по которому можно сделать вывод о равенстве треугольников. Он называется первым признаком равенства треугольников.

Источник

Геометрия. 7 класс

Конспект урока

Первый признак равенства треугольников

Перечень рассматриваемых вопросов:

Стороны треугольника– отрезки, соединяющие вершины треугольника

Равные треугольники – треугольники,которые можно совместить наложением.

1. Атанасян Л. С. Геометрия: 7–9 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. – М.: Просвещение, 2017. – 384 с.

2. Погорелов А. В. Геометрия: 7–9 класс. // Погорелов А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 224 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения.

Мы уже познакомились со способом сравнения треугольников путем наложения. Например, поворачивая треугольники, построенные Фалесом, на 180°, мы совмещали стороны и углы.

Но бывают ситуации, в которых этот способ неприменим. Например, если возникает необходимость сравнивать земельные участки треугольной формы.

Сегодня мы узнаем, как можно установить равенство треугольников без наложения их друг на друга.

Мы познакомились со способом определения расстояния до недоступной точки, предложенным Фалесом. Этот способ примечателен не только своей новизной по меркам древней Греции, но и тем, что Фалес впервые в истории науки понял необходимость доказательства.

Сравнить треугольники можно используя, так называемые, признаки равенства треугольников.

Чтобы убедиться в равенстве треугольников способом наложения, необходимо проверить равенство 6 соответственных элементов: 3 сторон и 3 углов треугольников.

Оказывается, что все 6 проверять нет необходимости. Мы сегодня докажем, что достаточно проверить только 3 пары элементов.

Будем утверждать, что достаточно сравнить только 3 пары элементов – 2 стороны и угол между ними.

В математике любое утверждение, справедливость которого устанавливается путем рассуждений, называется теоремой.

А сами рассуждения называются доказательством теоремы.

Рассмотрим теорему о равенстве треугольников: если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Формулировка теоремы состоит из двух частей. Первая часть начинается словом «если». В ней говорится о том, что дано. Это часть называется условием теоремы.

Вторая часть теоремы начинается словом «то». В ней говорится о том, что надо доказать. Вторая часть формулировки теоремы называется её заключением.

Дано: ∆ ABC, ∆А1В1С1, АВ = А1В1, АС = А1С1, А =А1.

вершина А совместится с вершиной А1, стороны АВ и АС наложатся соответственно на лучи А1В1 и А1С1.

В частности, совместятся точки В и В1, С и С1. Сторона ВС совпадет со стороной В1С1.

Доказанная теорема позволит нам сделать вывод о равенстве треугольников, сравнивая 3 пары элементов – по 2 сторонам и углу между ними каждого треугольника.

Такая теорема называется признаком.

В частности, первым признаком равенства треугольников.

Разбор заданий тренировочного модуля.

Доказать, что треугольники АВD и АСD равны.

Рассмотрим ∆ROS и ∆РОТ:

Из равенства треугольников следует, что ∠Т =∠R (как соответствующие элементы равных треугольников). Значит, ∠Т = 30°.

Докажите, что центрально симметричные отрезки равны.

Добавим еще одну пару центрально симметричных точек относительно точки О – точки С и D.

Соединим отрезками точки А и С, В и D. Получим отрезки АС и ВD, которые являются центрально симметричными относительно точки О.

Докажем, что отрезки АС и ВD равны.

Читайте также:  Установите соответствие между признаком животного и классом позвоночных

Рассмотрим треугольники АОС и ВОD:

Из равенства треугольников следует равенство соответственных элементов, т.е. АС = ВD.

Таким образом, мы доказали равенство центрально симметричных отрезков.

Источник

Урок геометрии по теме «Первый признак равенства треугольников». 7-й класс

Разделы: Математика

Класс: 7

При разработке интерактивной презентации были использованы новые, современные подходы к организации уроков в современной школе в соответствии с требованиями ФГОС основного общего образования. Далее приводится примерное описание организации урока по геометрии в 7 классе по теме: “Первый признак равенства треугольников”, с использованием интерактивной презентации, представленной в качестве конкурсного материала, тип урока – урок открытия нового знания.

Цели урока (в соответствии с требованиями ФГОС):

1) В направлении личностного развития: воспитание качеств личности, обеспечивающих культуру речи, патриотизм, социальную мобильность, способность принимать самостоятельные решения, развитие способности к умственному эксперименту.

2) В метапредметном направлении: формирование общих способов интеллектуальной деятельности, характерных для математики и являющихся основой познавательной культуры, значимой для различных сфер деятельности человека, развитие умений учебно-познавательной деятельности.

3) В предметном направлении: овладение математическими знаниями и умениями, необходимыми для продолжения обучения в старшей школе, изучения смежных дисциплин, применения в повседневной жизни. Создание фундамента для математического развития, формирования механизмов мышления, характерных для математической деятельности.

Задачи урока (в соответствии с требованиями ФГОС):

1) В направлении личностного развития: воспитывать у учащихся интерес к геометрии и познанию. Формировать положительный мотив обучения. Способствовать формированию коммуникативной компетентности учащихся, умения организовать учебное сотрудничество и совместную деятельность с учителем и сверстниками, быть объективными в оценке деятельности как своей, так и других. Развивать наблюдательность, умение сравнивать, анализировать и делать выводы, умение ставить проблему и искать пути ее разрешения. Формировать ответственное отношение к учебному труду.

2) В метапредметном направлении: сформировать представления учащихся о геометрической фигуре – треугольник, как о неотъемлемой части окружающего нас мира, о различном использовании в быту и жизни предметов и устройств, имеющих форму треугольника. Показать учащимся способы описания практической жизненной задачи на математическом языке, возможность поиска и дальнейшего применения на уроках математики знаний, полученных в других предметных областях.

3) В предметном направлении: подвести учащихся к самостоятельному формулированию первого признака равенства треугольников. Разъяснить смысл понятий “теорема и ее доказательство”, научить выделять в структуре формулировки теоремы “условие” и “заключение”, различать признаки и свойства объектов. Организовать поиск доказательных рассуждений установленного факта с помощью логического поиска, опираясь на опыт и знания ученика, полученные при выполнении лабораторно-практической работы. Показать учащимся практическое применение доказанной теоремы при решении задач (на начальном этапе по готовым чертежам).

Техническое оснащение: компьютер, интерактивная доска, интерактивная презентация к уроку.

1. Организационный момент. Постановка целей и задач урока.

Цель: включение учащихся в деятельность на личностно-значимом уровне. “Хочу, потому что могу”.

Деятельность учеников: включение в деловой ритм, должна возникнуть положительная эмоциональная направленность.

Деятельность учителя: устное сообщение. Интерес учащихся к уроку достигается сообщением о том, что учеников ожидают “сюрприз”, неожиданные задания, лабораторно-практическая работа и открытие нового знания. Визуальный интерес учеников вызывает главная страница презентации к уроку, отображенная на интерактивной доске.

2. Проверка домашнего задания. Актуализация опорных знаний.

Цель: повторение изученного материала, необходимого для “открытия нового знания”, актуализация опорных знаний необходимых для работы над новым материалом.

2.1. Форма работы групповая. Работу по повторению теории в группах организуют консультанты, которых назначает учитель. Ученики самостоятельно выделяют ключевые слова (фразы) в тексте учебника, отвечают друг другу на поставленные вопросы и слушают ответы, исправляя возможные ошибки. Групповой вид деятельности учащихся продолжается не более 2 минут. Чтобы узнать, сознательно ли ученики усвоили теоретический материал, им предлагается ответить на вопросы с элементами нового или найти ошибку в искаженных формулировках и т.д. Контроль учителя осуществляется в форме “командного первенства”. Кнопка “Теория” открывает контрольные вопросы:

2.2. На интерактивной доске активируется кнопка “Практика”, открываются задачи № 52 и 53 из рабочей тетради к УМК “Геометрия 7”, Атанасян Л.С.и др. Задания направлены на актуализацию опорных знаний для успешного выполнения лабораторно-практической работы. Деятельность учащихся – взаимопроверка по образцу.

2.3. Кнопка “Проект”: ученики рассказывают о результатах своей поисковой деятельности по теме: “Треугольники вокруг нас”, дополняя друг друга. Знакомство с геометрической фигурой – треугольник начальный этап изучения темы, одновременно начат поисково-исследовательский проект “Треугольники вокруг нас”. Были обозначены основные направления поиска и план реализации проекта. К каждому уроку учитель в качестве творческой части домашнего задания обозначает определенные области поиска, в зависимости от темы следующего урока и тех знаний, которые ученики будут получать о треугольнике. По окончании главы проводится обобщающий урок с защитой проекта. Таким образом, материалы данной презентации могут быть использованы учителем на протяжении изучения всей главы “Треугольники”.

3. Постановка проблемы.

Цель: Повышение мотивации обучения, постановка проблемной жизненной ситуации, приобретение первичного опыта математического моделирования и формализации.

Читайте также:  Какие признаки рака жкт

Замысел урока в том, что на материале самостоятельной поисковой деятельности учащихся выдвигается проблема, поэтому для постановки проблемы обсуждаются треугольные конструкции в строительстве. Ранее учащимся было предложено нарисовать домик. Эксперимент подтвердил – крыша домиков на всех рисунках имеет треугольную форму. Наиболее аккуратные работы демонстрируются на экране (кнопка “Сюрприз”).

Вопрос: “Почему в строительстве так широко используются треугольные конструкции, в частности крыши домов?” Ученики объясняют это свойством жесткости треугольника, если заданы стороны треугольника, то форма его уже не изменится. Вопросы учителя для постановки проблемы и выдвижения гипотез: “Возникли затруднения? Какие? А зачем нужно совмещать стропила крыши?” Выясняется, что в строительстве не всегда можно наложить одну треугольную конструкцию на другую из-за их массивности. Учитель подчеркивает, что это реальная жизненная ситуация и просит сформулировать ее на математическом языке. Ученики замечают, что не всегда можно установить равенство треугольников путем наложения.

Возникает необходимость выяснить: “Существуют ли другие способы установления равенства двух треугольников?” Ответы учащихся неоднозначны, одни считают, что такой способ существует, другие нет. Учитель обращает внимание учеников, что предположения, которые возникли в беседе, называются гипотезами. Все умозаключения, которые возникли в беседе, отражены в презентации (кнопка “Проблема”).

Интерактивная доска отключается, чтобы дать возможность ученикам сосредоточиться на выполнении практической работы, делается гимнастика для глаз.

4. Лабораторно-практическая работа.

Цель: построение проекта выхода из затруднения, “открытие нового знания”, подведение учеников к самостоятельному формулированию первого признака равенства треугольников.

Для реализации поиска подтверждения гипотезы, для выяснения оснований совмещения элементов треугольников, учащимся предлагается выполнить наложение одного треугольника на другой. Для наглядности выбраны именно не равные треугольники. Ученикам раздаются листы для выполнения практической работы и заранее заготовленные треугольники из прозрачной основы. Подведение итогов – “индивидуальное первенство”, каждый ответ оценивается в 1 балл.

Кнопка лабораторно-практическая работа “Итоги”: открывает результаты работы учеников и вывод, который они делают после обсуждения каждого вида наложения треугольников. Вопросы учителя: “Сколько соответственно равных элементов имеют треугольники, какие это элементы? Какой из видов наложения наиболее близок к полному совмещению треугольников? Какие элементы треугольников совместились в 3 случае наложения? Подумайте, совмещение каких элементов необходимо для того, чтобы треугольники совместились полностью? В каком случае это возможно?”.

Вопросы, способствующие открытию нового знания: “Подумайте, сколько равных элементов нужно найти у двух треугольников, чтобы установить их равенство? Какие это элементы? Нашли ли мы новый способ установления равенства треугольников? Какая гипотеза оказались верной? Давайте попробуем сформулировать новый способ установления равенства треугольников”.

Ученики самостоятельно, опираясь на новые знания, своими словами формулируют новый способ установления равенства треугольников, учитель сообщает ученикам, что они сформулировали основную теорему планиметрии – первый признак равенства треугольников.

5. Раскрытие новых понятий “теорема и ее доказательство”. Доказательство первого признака равенства треугольников.

Цель: демонстрация возможности использования на уроках математики знаний, полученных в других предметных областях, отработка навыка построения цепочки логических рассуждений, приводящих к обоснованию исследуемого факта. Раскрытие понятий “теорема и ее доказательство”, структура теоремы, доказательство первого признака равенства треугольников, раскрытие понятия свойств и признаков объекта.

Кнопка “Теорема”: раскрывает слайды с ее точной формулировкой, структурой, доказательством. А так же слайды раскрывающие понятие свойств и признаков объекта.

Учитель поясняет ученикам, что в геометрии называется “теоремой и ее доказательством” и сообщает ученикам, что в структуре любой теоремы есть “условие” и “заключение”. Если рассматривать теорему как задачу, то “условие” – это то, что дано, то, чем можно пользоваться. “Заключение” же – неизвестный факт, требующий доказательства. Рассматривается простой пример: “если ученик не сделал домашнее задание, то учитель его не похвалит” и демонстрируется, что это утверждение состоит из двух частей – “условия” и “заключения”. Вспоминаются в устной форме утверждения о равенстве вертикальных углов и другие факты, обоснованные ранее. Делается замечание, что эти утверждения фактически являются теоремами, а их обоснование доказательством. Ученики пробуют переформулировать эти утверждения по заданной схеме.

На доске отображаются формулировки теорем и задач, которые не имеют вид ранее обозначенной схемы: “Биссектрисы смежных углов образуют угол, равный 90 о ” и др.

Учитель: “Опять мы оказались в затруднении. Как выйти из создавшейся ситуации?”. Неожиданное задание: “Найдите и выделите подлежащее и сказуемое в утверждениях. Сделайте вывод”.

Ученики легко замечают, что подлежащее – это условие утверждения, а сказуемое – это заключение. Учитель уточняет, что в формулировке нужно выделить подлежащее и его группу, сказуемое и его группу; тогда подлежащее и его группа – условие, сказуемое и его группа – заключение [5].

На вопрос нужно ли доказывать теорему, факт, установленный практическим путем, однозначного ответа у учеников нет, поэтому можно предложить ученикам задание на зрительную иллюзию. Полезно сообщить учащимся причины возникновения зрительных иллюзий: глаз делает ошибку в определении размеров фигур в “заполненном” и “пустом” пространстве.

Читайте также:  Внешние признаки синдрома дауна на лице

Доказательные рассуждения проводятся в форме логического поиска (обоснование на основе выполненных ранее действий и сделанных выводов). Ученики, опираясь на текст учебника, заполняют специальную заготовку в форме таблицы. Проверка доказательства по эталону на доске. Ученики вносят коррективы в свои записи, уточняют неясные моменты и обсуждают результаты самостоятельно в группах. Учитель координирует деятельность групп, если необходимо помогает и отвечает на вопросы.

Отличие свойств объекта от его признаков выясняется на простом примере: “Свойства и признаки хорошей погоды”. Ученики легко приводят примеры и делают вывод, что формулировки отличаются в местоположении фразы “хорошая погода”, в свойствах “хорошая погода” – это условие, а в признаках “хорошая погода” – заключение.

Замечание. Интерактивными являются так же кнопки “Структура теоремы”, “Доказательство”, “Свойство и признак”, это позволяет изучать эти вопросы в любом порядке удобном для учителя, возвращаться к ним при повторении и т.д.

6. Первичное применение полученных знаний при решении задач.

Цель: уточнение алгоритма использования нового знания, включение его в систему знаний ученика. Применения доказанного признака при решении задач (на начальном этапе по готовым чертежам).

Кнопка “Задачи”: открывает задачи типичных случаев применения доказанного признака, фронтальная работа.

Вопросы учителя (1 балл):

Далее ученикам предлагаются задачи на применение новых знаний вместе с изученными ранее фактами, работа в группах, “командное первенство”.

7. Подведение итогов. Рефлексия. Домашнее задание.

Цель: диагностика личностных, предметных и метапредметных результатов деятельности учащихся на уроке, определение учениками границ своего знания и незнания.

Источник

Геометрия. 7 класс

Конспект урока

Первый признак равенства треугольников

Перечень рассматриваемых вопросов:

Стороны треугольника– отрезки, соединяющие вершины треугольника

Равные треугольники – треугольники,которые можно совместить наложением.

1. Атанасян Л. С. Геометрия: 7–9 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. – М.: Просвещение, 2017. – 384 с.

2. Погорелов А. В. Геометрия: 7–9 класс. // Погорелов А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 224 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения.

Мы уже познакомились со способом сравнения треугольников путем наложения. Например, поворачивая треугольники, построенные Фалесом, на 180°, мы совмещали стороны и углы.

Но бывают ситуации, в которых этот способ неприменим. Например, если возникает необходимость сравнивать земельные участки треугольной формы.

Сегодня мы узнаем, как можно установить равенство треугольников без наложения их друг на друга.

Мы познакомились со способом определения расстояния до недоступной точки, предложенным Фалесом. Этот способ примечателен не только своей новизной по меркам древней Греции, но и тем, что Фалес впервые в истории науки понял необходимость доказательства.

Сравнить треугольники можно используя, так называемые, признаки равенства треугольников.

Чтобы убедиться в равенстве треугольников способом наложения, необходимо проверить равенство 6 соответственных элементов: 3 сторон и 3 углов треугольников.

Оказывается, что все 6 проверять нет необходимости. Мы сегодня докажем, что достаточно проверить только 3 пары элементов.

Будем утверждать, что достаточно сравнить только 3 пары элементов – 2 стороны и угол между ними.

В математике любое утверждение, справедливость которого устанавливается путем рассуждений, называется теоремой.

А сами рассуждения называются доказательством теоремы.

Рассмотрим теорему о равенстве треугольников: если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Формулировка теоремы состоит из двух частей. Первая часть начинается словом «если». В ней говорится о том, что дано. Это часть называется условием теоремы.

Вторая часть теоремы начинается словом «то». В ней говорится о том, что надо доказать. Вторая часть формулировки теоремы называется её заключением.

Дано: ∆ ABC, ∆А1В1С1, АВ = А1В1, АС = А1С1, А =А1.

вершина А совместится с вершиной А1, стороны АВ и АС наложатся соответственно на лучи А1В1 и А1С1.

В частности, совместятся точки В и В1, С и С1. Сторона ВС совпадет со стороной В1С1.

Доказанная теорема позволит нам сделать вывод о равенстве треугольников, сравнивая 3 пары элементов – по 2 сторонам и углу между ними каждого треугольника.

Такая теорема называется признаком.

В частности, первым признаком равенства треугольников.

Разбор заданий тренировочного модуля.

Доказать, что треугольники АВD и АСD равны.

Рассмотрим ∆ROS и ∆РОТ:

Из равенства треугольников следует, что ∠Т =∠R (как соответствующие элементы равных треугольников). Значит, ∠Т = 30°.

Докажите, что центрально симметричные отрезки равны.

Добавим еще одну пару центрально симметричных точек относительно точки О – точки С и D.

Соединим отрезками точки А и С, В и D. Получим отрезки АС и ВD, которые являются центрально симметричными относительно точки О.

Докажем, что отрезки АС и ВD равны.

Рассмотрим треугольники АОС и ВОD:

Из равенства треугольников следует равенство соответственных элементов, т.е. АС = ВD.

Таким образом, мы доказали равенство центрально симметричных отрезков.

Источник

Adblock
detector