7 класс равносторонний треугольник свойства и признаки

Содержание
  1. Свойства равностороннего треугольника
  2. Равносторонний треугольник (ЕГЭ – 2021)
  3. ШПОРА ПРО РАВНОСТОРОННИЙ ТРЕУГОЛЬНИК
  4. Определение равностороннего треугольника
  5. Свойства равностороннего треугольника
  6. Высота равностороннего треугольника
  7. Радиус описанной окружности равностороннего треугольника
  8. Радиус вписанной окружности равностороннего треугольника
  9. КУРСЫ ПОДГОТОВКИ К ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ ИНФОРМАТИКЕ И ФИЗИКЕ
  10. Равносторонний треугольник, свойства, признаки и формулы
  11. Равносторонний треугольник, свойства, признаки и формулы.
  12. Равносторонний треугольник (понятие, определение):
  13. Свойства равностороннего треугольника:
  14. Признаки равностороннего треугольника:
  15. Формулы равностороннего треугольника:
  16. Свойства равностороннего треугольника: теория и пример задачи
  17. Определение равностороннего треугольника
  18. Свойства равностороннего треугольника
  19. Свойство 1
  20. Свойство 2
  21. Свойство 3
  22. Свойство 4
  23. Свойство 5
  24. Свойство 6
  25. Пример задачи
  26. 7 класс равносторонний треугольник свойства и признаки
  27. § 12. Теоремы
  28. ИТОГИ ГЛАВЫ 2.

Свойства равностороннего треугольника

Основные свойства равностороннего треугольника непосредственно следуют из свойств равнобедренного треугольника, частным случаем которого он является.

Свойства равностороннего треугольника

2) Высота, медиана и биссектриса, проведённые к каждой из сторон равностороннего треугольника, совпадают:

AK — высота, медиана и биссектриса, проведённые к стороне BC;

BF — высота, медиана и биссектриса, проведённые к стороне AC;

CD — высота, медиана и биссектриса, проведённые к стороне AB.

Длины всех трёх высот (медиан, биссектрис) равны между собой:

Если a — сторона треугольника, то

3) Точка пересечения высот, биссектрис и медиан называется центром правильного треугольника и является центром вписанной и описанной окружностей (то есть в равностороннем треугольнике центры вписанной и описанной окружностей совпадают).

4) Точка пересечения высот, биссектрис и медиан правильного треугольника делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершин:

5) Расстояние от точки пересечения высот, биссектрис и медиан

до любой вершины треугольника равно радиусу описанной окружности:

6) Расстояние от точки пересечения высот, биссектрис и медиан до любой стороны треугольника равно радиусу вписанной окружности:

7) Сумма радиусов вписанной и описанной окружностей правильного треугольника равна его высоте, медиане и биссектрисе: R+r=BF.

8) Радиус вписанной в правильный треугольник окружности в два раза меньше радиуса описанной окружности:

Источник

Равносторонний треугольник (ЕГЭ – 2021)

И вот мы снова изучаем треугольники. Это всё больше похоже на заговор.

Не волнуйся: после прочтения этой статьи тайн не останется, ведь ты будешь знать всё о равностороннем треугольнике!

А еще сможешь решить любую задачу на ЕГЭ!

ШПОРА ПРО РАВНОСТОРОННИЙ ТРЕУГОЛЬНИК

Равносторонний треугольник — треугольник, у которого все стороны равны.

В равностороннем треугольнике длины всех элементов «хорошо» выражаются через длину стороны \(a\):

Определение равностороннего треугольника

Равносторонний треугольник — треугольник, у которого все стороны равны.

Какие же особенные свойства присущи равностороннему треугольнику?

Автор этого учебника, Алексей Шевчук, проводит бесплатные вебинары по самым сложным задачам ЕГЭ по математике и информатике.

Регистрируйся здесь и приходи!

Свойства равностороннего треугольника

Свойство 1. В равностороннем треугольнике все углы равны между собой и равны \(<<60>^>\)

Свойство 2. В равностороннем треугольнике точки пересечения высот, биссектрис, медиан и серединных перпендикуляров совпадают – оказываются одной и той же точкой. И эта точка называется центром треугольника (равностороннего!).

Почему так? А посмотрим-ка на равносторонний треугольник:

Он является равнобедренным, какую бы его сторону ни принять за основание – так сказать, со всех сторон равнобедренный.

Значит, любая высота в равностороннем треугольнике является также и биссектрисой, и медианой, и серединным перпендикуляром! В равностороннем треугольнике оказалось не 1 2 \displaystyle 12 » tabindex=»0″>\(12\) особенных линий, как во всяком обычном треугольнике, а всего три!

Центр равностороннего треугольника является центром вписанной и описанной окружности, а также точкой пересечения высот и медиан.

Свойство 3. В равностороннем треугольнике радиус описанной окружности в два раза больше, чем радиус вписанной.

Уже должно быть очевидно, отчего так.

Свойство 4. В равностороннем треугольнике длины всех элементов «хорошо» выражаются через длину стороны.

Давай удостоверимся в этом.

Высота равностороннего треугольника

Рассмотрим \(\Delta ABK\) – он прямоугольный.

Радиус описанной окружности равностороннего треугольника

Его автор, Алексей Шевчук, ведет курсы подготовки к ЕГЭ по математике и информатике.

Приходи, научишься решать задачи любой сложности с самого нуля. Шаг за шагом.

До 3990 руб / месяц, 3 раза в неделю по 2 часа.

Радиус вписанной окружности равностороннего треугольника

Это уже теперь должно быть совсем ясно:

Ну вот, все основные сведения обсудили. Конечно, можно задавать сотни вопросов про всякие длины всяких отрезков в равностороннем треугольнике.

Но главное, что следует иметь в виду, решая задачки о равностороннем треугольнике, – это то, что все его углы известны – равны \(<<60>^>\) и все высоты являются и биссектрисами, и медианами, и серединными перпендикулярами.

КУРСЫ ПОДГОТОВКИ К ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ ИНФОРМАТИКЕ И ФИЗИКЕ

КУРСЫ ПОДГОТОВКИ К ЕГЭ

Некоторые комментарии прошлых лет к этой статье:

Gabit
18 сентября 2019
Спасибо большое, хоть дочка и учится в школе с другим языком обучения, символы в математике едины и Ваша статья ей помогла.

Пожалуйста, войдите заново. Страница входа откроется в новом окне. После входа вы можете закрыть окно и вернуться к текущей странице.

Источник

Равносторонний треугольник, свойства, признаки и формулы

Равносторонний треугольник, свойства, признаки и формулы.

Равносторонний треугольник – это треугольник, у которого все стороны равны между собой по длине, все углы также равны и составляют 60°.

Равносторонний треугольник (понятие, определение):

Равносторонний треугольник – это треугольник, у которого все стороны равны между собой по длине, все углы также равны и составляют 60°.

Равносторонний треугольник называется также правильным или равноугольным треугольником.

По определению, каждый правильный (равносторонний) треугольник также является равнобедренным, но не каждый равнобедренный треугольник – правильным (равносторонним). Иными словами, правильный (равносторонний) треугольник является частным случаем равнобедренного треугольника.

Рис. 1. Равносторонний треугольник

АВ = ВС = АС – стороны треугольника, ∠ АВС = ∠ BАC = ∠ BСA = 60° – углы треугольника

Свойства равностороннего треугольника:

1. В равностороннем треугольнике все стороны равны между собой.

2. В равностороннем треугольнике углы равны и составляют 60°.

3. В равностороннем треугольнике каждая медиана, проведенная к каждой стороне, является биссектрисой и высотой, и они равны между собой.

В равностороннем треугольнике биссектриса, проведенная к каждой стороне, является медианой и высотой, и они равны между собой.

В равностороннем треугольнике высота, проведенная к каждой стороне, является биссектрисой и медианой, и они равны между собой.

Рис. 2. Равносторонний треугольник

4. В равностороннем треугольнике высоты, биссектрисы, медианы и серединные перпендикуляры пересекаются в одной точке, которая называется центром равностороннего треугольника. Она же является центром вписанной и описанной окружностей.

Рис. 3. Равносторонний треугольник

R – радиус описанной окружности, r – радиус вписанной окружности

5. В равностороннем треугольнике радиус описанной окружности в два раза больше радиуса вписанной.

6. Точка пересечения высот, биссектрис и медиан правильного треугольника делит каждую из них в отношении 2:1, если считать от вершин.

Рис. 4. Равносторонний треугольник

AO : OK = BO : OА = CO : OD = 2 : 1

Признаки равностороннего треугольника:

– если в треугольнике три угла равны, то он равносторонний;

– если в треугольнике три стороны равны, то он равносторонний.

Формулы равностороннего треугольника:

Пусть a – длина стороны равностороннего треугольника, h – высота (l – биссектриса, m – медиана) равностороннего треугольника, проведенная к каждой стороне, α – угол равностороннего треугольника, α = 60°, R – радиус описанной окружности, r – радиус вписанной окружности (см. Рис. 6).

Рис. 6. Равносторонний треугольник

Формула радиуса вписанной окружности (r):

.

Формула радиуса описанной окружности (R):

,

.

Формулы периметра (Р) равностороннего треугольника:

.

Формулы площади (S) равностороннего треугольника:

.

Формулы высоты (h), медианы (m) и биссектрисы (l) треугольника:

.

Источник

Свойства равностороннего треугольника: теория и пример задачи

В данной статье мы рассмотрим определение и свойства равностороннего (правильного) треугольника. Также разберем пример решения задачи для закрепления теоретического материала.

Определение равностороннего треугольника

Равносторонним (или правильным) называется треугольник, в котором все стороны имеют одинаковую длину. Т.е. AB = BC = AC.

Примечание: правильный многоугольник – это выпуклый многоугольник, имеющий равные стороны и углы между ними.

Свойства равностороннего треугольника

Свойство 1

В равностороннем треугольнике все углы равны 60°. Т.е. α = β = γ = 60°.

Свойство 2

В равностороннем треугольнике высота, проведенная к любой из сторон, одновременно является биссектрисой угла, из которого она проведена, а также медианой и серединным перпендикуляром.

CD – медиана, высота и серединный перпендикуляр к стороне AB, а также биссектриса угла ACB.

Свойство 3

В равностороннем треугольнике биссектрисы, медианы, высоты и серединные перпендикуляры, проведенные ко всем сторонам, пересекаются в одной точке.

Свойство 4

Центры вписанной и описанной вокруг равностороннего треугольника окружностей совпадают и находятся на пересечении медиан, высот, биссектрис и серединных перпендикуляров.

Свойство 5

Радиус описанной вокруг равностороннего треугольника окружности в 2 раза больше радиуса вписанной окружности.

Свойство 6

В равностороннем треугольнике, зная длину стороны (условно примем ее за “a”), можно вычислить:

1. Высоту/медиану/биссектрису:

2. Радиус вписанной окружности:

3. Радиус описанной окружности:

4. Периметр:

5. Площадь:

Пример задачи

Дан равносторонний треугольник, сторона которого равна 7 см. Найдите радиус описанной вокруг и вписанной окружности, а также, высоту фигуры.

Решение
Применим формулы, приведеные выше, для нахождения неизвестных величин:

Источник

7 класс равносторонний треугольник свойства и признаки

§ 12. Теоремы

Формулировки всех теорем, которые мы доказали, состоят из двух частей. Первую часть теоремы (то, что дано) называют условием теоремы, вторую часть теоремы (то, что требуется доказать) — заключением.

Например, в теореме 8.1 (первый признак равенства треугольников) условием является то, что две стороны и угол между ними одного треугольника равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, а заключением — равенство
ников.

Все знакомые вам теоремы можно условно разделить на теоремы-свойства и теоремы-признаки. Например, теорема 1.1 устанавливает свойство пересекающихся прямых, теорема 9.1 — свойство равнобедренного треугольника.

Теоремы-признаки перечисляют свойства, по которым можно распознать фигуру, т. е. отнести её к тому или иному виду (классу). Так, теоремы-признаки равенства треугольников указывают требования, по которым два треугольника можно причислить к классу равных. Например, в теоремах 10.1-10.4 сформулированы свойства, по которым распознают равнобедренный треугольник.

Теоремы, которые следуют непосредственно из аксиом или теорем, называют теоремами-следствиями или следствиями. Например, свойство углов, противолежащих равным сторонам треугольника, является следствием из теоремы 9.1.
Если в теореме 8.2 о свойстве серединного перпендикуляра поменять местами условие и заключение, то получим теорему 11.2. Такие теоремы называют взаимно обратными. Если какую-то из этих теорем назвать прямой, то вторую теорему будем называть обратной.

Меняя местами условие и заключение теоремы, надо быть очень внимательными: не всегда можно получить истинное утверждение. Например, утверждение, обратное теореме 4.1 о сумме смежных углов, неверно. Действительно, если сумма каких-то двух углов равна 180°, то совершенно не обязательно, чтобы эти углы были смежными.

Вы знаете, что справедливость теоремы устанавливают путём логических рассуждений, т. е. доказательства. Теорема 1.1 была доказана методом от противного. Название этого метода фактически отражает его суть. Мы предположили, что заключение теоремы 1.1 неверно. На основании этого предположения с помощью логических рассуждений был получен факт, который противоречил основному свойству прямой.

Методом от противного также были доказаны и другие теоремы, например теоремы 5.1, 10.3. Очень важно, чтобы доказательство теоремы было полным, т. е. рассмотрены все возможные случаи. Так, полное доказательство теоремы 11.1 (третий признак равенства треугольников) потребовало рассмотрения всех трёх возможных случаев.

Умение видеть все тонкости и нюансы доказательства — важнейшее качество, формирующее математическую культуру. Если бы, например, при доказательстве теоремы 8.2 о свойстве серединного перпендикуляра мы не рассмотрели отдельно случай, когда точка X является серединой отрезка то обращение к треугольникам АХМ и ВХМ было бы не совсем «законным».

При доказательстве теоремы 10.4 (признак равнобедренного треугольника) мы использовали приём дополнительного построения: чертёж дополнили элементами, о которых не шла речь в условии теоремы. Этот метод является ключом к решению многих задач и доказательству ряда теорем. Поэтому очень важно научиться видеть «выгодное» (результативное) дополнительное построение.

ИТОГИ ГЛАВЫ 2.

Определение. Равные фигуры
Две фигуры называют равными, если их можно совместить наложением.

Основное свойство равенства треугольников
Для данного треугольника АВС и луча А1М существует треугольник A1B1C1 равный треугольнику АВС, такой, что АВ = А1В1, ВС = В1С1, АС = А1С1 и сторона A1B1 принадлежит лучу А1М, а вершина С1 лежит в заданной полуплоскости относительно прямой А1М.

ТЕОРЕМА 7.1. О единственности прямой, перпендикулярной данной
Через точку, не принадлежащую данной прямой, проходит только одна прямая, перпендикулярная данной.

Высота треугольника
Перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на прямую, содержащую противолежащую сторону, называют высотой треугольника.

Медиана треугольника
Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны, называют медианой треугольника.

Биссектриса треугольника
Отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противолежащей стороны, называют биссектрисой треугольника.

ТЕОРЕМА 8.1. Первый признак равенства треугольников: по двум сторонам и углу между ними
Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Серединный перпендикуляр отрезка
Прямую, перпендикулярную отрезку и проходящую через его середину, называют серединным перпендикуляром отрезка.

ТЕОРЕМА 8.2.
Каждая точка серединного перпендикуляра отрезка равноудалена от концов этого отрезка.

ТЕОРЕМА 8.3. Второй признак равенства треугольников: по стороне и двум прилежащим к ней углам
Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника равны соответственно стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Равнобедренный треугольник
Треугольник, у которого две стороны равны, называют равнобедренным.

Равносторонний треугольник
Треугольник, у которого все стороны равны, называют равносторонним.

ТЕОРЕМА 9.1. Свойства равнобедренного треугольника
В равнобедренном треугольнике: 1) углы при основании равны; 2) биссектриса треугольника, проведённая из угла при вершине, является медианой и высотой.

Свойства треугольников, следующие из свойств равнобедренного треугольника
• В треугольнике против равных сторон лежат равные углы.
• В равнобедренном треугольнике биссектриса, высота и медиана, проведённые из его вершины, совпадают.
• В равностороннем треугольнике все углы равны.
• В равностороннем треугольнике биссектриса, высота и медиана, проведённые из одной вершины, совпадают.

Признаки равнобедренного треугольника
• Если медиана треугольника является его высотой, то этот треугольник равнобедренный (Теорема 10.1)
• Если биссектриса треугольника является его высотой, то этот треугольник равнобедренный (Теорема 10.2)
• Если в треугольнике два угла равны, то этот треугольник равнобедренный (Теорема 10.3)
• Если медиана треугольника является его биссектрисой, то этот треугольник равнобедренный (Теорема 10.4)

ТЕОРЕМА 11.1.Третий признак равенства треугольников: по трём сторонам
Если три стороны одного треугольника равны соответственно трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Это конспект по теме «Мерзляк Геометрия 7 Глава 2». Выберите дальнейшие действия:

Источник

Читайте также:  По какому признаку растения подразделяют на дикорастущие и культурные растения