3 признака равенства треугольников доказательство 3 случая

Содержание
  1. 3 признак равенства треугольников
  2. Признаки равенства треугольников (доказательство всех)
  3. Признаки равенства треугольника
  4. Первый признак равенства треугольников
  5. Второй признак равенства треугольников
  6. Третий признак равенства треугольников
  7. 3 признак равенства треугольников (3 случай) доказать
  8. Доказательства равных треугольников: как доказать равенство углов, 3 признака равенства, подобие треугольников
  9. Формулировка третьего признака равенства треугольников
  10. Доказательство
  11. Доказательство
  12. Три возможных случая при наложении треугольников
  13. Доказательства равенства треугольников для трех возможных случаев
  14. Первый случай
  15. Доказательство:
  16. Второй случай
  17. Доказательство:
  18. Третий случай
  19. Доказательство:
  20. Признаки подобия треугольников
  21. Первый признак подобия треугольников
  22. Второй признак подобия треугольников
  23. Третий признак подобия треугольников
  24. Пример задачи на использование признаков подобия
  25. 3 признак равенства треугольников
  26. math-public:priznaki-ravenstva-treugolnikov [Президентский ФМЛ №239]
  27. Как доказать равенство треуголников? Примеры!
  28. «Нестандартные признаки равенства треугольников»
  29. Теоретические материалы: Соизмеримые и несоизмеримые отрезки. Отношение отрезков. Пропорциональные отрезки
  30. Первый признак равенства треугольников – доказательство: второй и третий признаки, теорема и определение
  31. Применение навыка на практике
  32. Доказательство 1 признака
  33. Доказательство 2 признака
  34. Доказательство 3 признака
  35. Следствия первого признака
  36. Вывод
  37. Признаки подобия треугольников
  38. Теорема 1
  39. Доказательство
  40. Теорема 2
  41. Теорема 3
  42. Признаки подобия прямоугольных треугольников
  43. Признаки подобия треугольников в примерах
  44. Пример 1
  45. Пример 2
  46. Пример 3

3 признак равенства треугольников

(Третий признак равенства треугольников — по трём сторонам)

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Дано:

Приложим треугольник A1B1C1 к треугольнику ABC так, чтобы

При этом возможны три случая взаимного расположения луча CC1 и угла ACB.

I. Луч CC1 проходит внутри угла ACB.

Проведём отрезок CC1.

По условию AC=A1C1 и BC=B1C1, поэтому треугольники ACC1 и BCC1 — равнобедренные с основанием CC1.

Если к равным углам прибывать равные углы, то получим равные углы:

Таким образом, ∠ACB=∠AC1B.

Точки A1 и A, B1 и B совмещены, то есть ∠AC1B и ∠A1C1B1 — один и тот же угол.

Для треугольников ABC и A1B1C1 имеем:

Следовательно, ΔABC= ΔA1B1C1 (по 1 признаку равенства треугольников).

II. Луч CC1 проходит внутри угла ACB.

Так как AC=A1C1 и BC=B1C1, треугольники ACC1 и BCC1 — равнобедренные с основанием CC1 и ∠ACC1=∠AC1C и ∠BCC1=∠BC1C (как углы при основании).

Если из равных углов вычесть равные углы, то получим равные углы:

III. Луч CC1 совпадает со стороной угла ACB.

По условию BC=B1C1, поэтому треугольник BCC1 — равнобедренный с основанием CC1.

Отсюда ∠C1=∠C (как углы при основании) и ΔABC= ΔA1B1C1 (по 1 признаку равенства треугольников).

Источник

Признаки равенства треугольников (доказательство всех)

1) по двум сторонам и углу между ними

Пусть у треугольников АВС и А1В1С1 угол A равен углу А1, АВ равно А1В1, АС равно А1С1. Докажем, что треугольники равны.

Наложим треугольник ABC (либо симметричный ему) на треугольник A1B1C1 так, чтобы угол A совместился с углом A1. Так как АВ=А1В1, а АС=А1С1, то B совпадёт с В1, а C совпадёт с С1. Значит, треугольник А1В1С1 совпадает с треугольником АВС, а следовательно, равен треугольнику АВС.

2) по стороне и прилежащим к ней углам

ПустьАВС и А1В1С1 – два треугольника, у которых АВ равно А1В1, угол А равен углу А1, и угол В равен углу В1. Докажем, что они равны.

Наложим треугольник ABC (либо симметричный ему) на треугольник A1B1C1 так, чтобы AB совпало с A1B1. Так как ∠ВАС =∠В1А1С1 и ∠АВС=∠А1В1С1, то луч АС совпадёт с А1С1, а ВС совпадёт с В1С1. Отсюда следует, что вершина C совпадёт с С1. Значит, треугольник А1В1С1 совпадает с треугольником АВС, а следовательно, равен треугольнику АВС.

3)по трём сторонам

Доказательство :

Приложим треугольник ABC (либо симметричный ему) к треугольнику A1B1C1 так, чтобы вершина А совместилась с вершиной A1, вершина В — с вершиной В1, а вершины С и С1, оказались по разные стороны от прямой А1В1. Рассмотрим 3 случая:

1) Луч С1С про­ходит внутри угла А1С1В1. Так как по условию теоремы стороны АС и A1C1, ВС и В1С1 равны, то треугольники A1C1C и В1С1С — равнобедренные. По теореме о свойстве углов равнобедренного треугольника ∠1 = ∠2, ∠3 = ∠4, поэтому ∠ACB=∠A1C1B1.

Итак, AC=A1C1, BC=B1C1, ∠C=∠C1. Следовательно, треугольники ABC и A1B1C1 равны по
первому признаку равенства треугольников.

Теорема доказана.

2. Деление отрезка на n равных частей.

Провести луч через A, отложить на нём n равных отрезков. Через B и An провести прямую и к ней параллельные через точки A1 – An-1. Отметим их точки пересечения с AB. Получим n отрезков, которые равны по теореме Фалеса.

Теорема Фалеса. Если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки.

2. ΔABB2=ΔCDD2 ABB2 CDD2 BAB2 DCD2 и равны на основании второго признака равенства треугольников:
AB = CD согласно условию теоремы,
как соответственные, образовавшиеся при пересечении параллельных BB1 и DD1 прямой BD.

3. Аналогично каждый из углов и оказывается равным углу с вершиной в точке пересечения секущих. AB2 = CD2 как соответственные элементы в равных треугольниках.

4. A1B1 = AB2 = CD2 = C1D1

Источник

Признаки равенства треугольника

Первый признак равенства треугольников

Конечно, равенство треугольников всегда можно доказать наложением одного треугольника на другой. Но, согласитесь, — это несерьезно. Какое может быть наложение, когда есть три теоремы и можно их доказать.

Давайте рассмотрим три признака равенства треугольников.

Теорема 1. Равенство треугольников по двум сторонам и углу между ними.

Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Докажите равенство треугольников △ABC = △A1B1C1.

△A1B1C1 = △ABC, если при наложение вершина A1 совмещается с вершиной A, и сторона A1B1 совмещается со стороной AB, AC — со стороной A1C1,
A1B1 = AB, вершина B совпадает с вершиной B1
A1C1 = AC, поскольку ∠A = ∠A1, вершина C совпадает с вершиной C1.
B1C1 = BC,
△ABC = △A1B1C1.

Второй признак равенства треугольников

Теорема 2. Равенство треугольников по стороне и двум прилежащим к ней углам.

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Путем наложения △ABC на △A1B1C1, совмещаем вершину А с вершиной A1.
Тогда АС совмещается с A1C1, вершина C совпадает с C1, поскольку мы знаем, что АС = A1C1.

Третий признак равенства треугольников

Теорема 3. Равенство треугольников по трем сторонам.

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство 3 признака равенства треугольников:

Наложим △ABC на △A1B1C1, таким образом, чтобы вершина A совпала с вершиной A1, вершина B — с вершиной B1, вершина C — с вершиной C1.

Кроме трех основных теорем, запомните еще несколько свойств равенства треугольников.

Равны ли треугольники, можно определить не только по сторонам и углам, но и по высоте, медиане и биссектрисе.

Как видите, доказать равенство треугольников можно по множеству признаков и десятком способом. Три признака равенства треугольников — основные. Все остальные способы также стоит запомнить, ведь треугольник — только с виду простая фигура.

В онлайн-школе Skysmart ваш ребенок научится доказывать любые теоремы и справляться с даже самыми сложными задачками на контрольных. Вас ждут опытные преподаватели, удобная интерактивная платформа и даже онлайн-доска, на которой можно чертить фигуры вместе с учителем.

Записывайтесь на бесплатный вводный урок по математике и начните заниматься в удовольствие уже завтра!

Источник

3 признак равенства треугольников (3 случай) доказать

сли три стороны одного треугольника равны соответственно трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Доказательство

2 треугольника, АВС и А1В1С1, AB = A1B1, AC = A1C1, BC = B1C1

Два треугольника с тремя равными сторонами

Требуется доказать, что треугольники АСВ и А1В1С1 равны.
Доказательство

Для начала необходимо «наложить» данные треугольники друг на друга таким образом – чтобы точка А совпала с точкой А1, точка В с точкой В1, а точки С и С1 оказались по разные стороны от прямой А1В1.

Наложение двух треугольников
Три возможных случая при наложении треугольников

Луч С1С расположен внутри угла А1С1В1.

Первый случай
Луч С1С накладывается на одну из сторон данного угла.

Второй случай
Луч С1С расположен вне угла А1С1В1.

Доказательства равенства треугольников для трех возможных случаев
Первый случай

Читайте также:  Характерные художественные признаки эпохи возрождения

Луч С1С расположен внутри угла А1С1В1.
Доказательство:

Рассмотрим треугольники В1С1С и АС1С.

Первый случай
По условию стороны АС=А1С1, ВС=В1С1, следовательно, треугольники В1С1С и А1С1С – равнобедренные.
Вспомнив, что углы при основании равнобедренных треугольников равны (свойство равнобедренного треугольника), получаем:
∠АСС1 = ∠А1С1С,
∠ВСС1 = ∠В1С1С.
Поскольку
∠ACB = ∠ACC1 + ∠BCC1,
∠AC1B = ∠AC1C + ∠BC1C,
то и углы AСB и AС1B равны.

Так как ВС = В1С1, АС = А1С1 и ∠AСB = ∠AС1B, можно утверждать, что треугольники АВС и А1В1С1 равны согласно первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Что и требовалось доказать
Второй случай

Луч С1С накладывается на одну из сторон этого угла.
Доказательство:

Рассмотрим треугольник САС1.

Что и требовалось доказать.
Третий случай

Луч С1С расположен вне угла А1С1В1.
Доказательство:

Рассмотрим полученный треугольник ВСС1.

Третий случай доказательство
По условию, стороны В1С1 и ВС – равны, следовательно, треугольник В1С1С – равнобедренный, а значит, что углы BСD и BС1D равны.
Рассмотрим треугольник АСС1.
Согласно условию, стороны АС и А1С1 – равны, отсюда следует, что треугольник АСС1 – равнобедренный и углы при его основании равны (∠DC1A = ∠DCA).
∠DCA = ∠DCB + ∠ACB, а ∠DC1A = ∠DC1B + ∠AC1B.
Поскольку ∠DC1A = ∠DCA и ∠BСD = ∠BС1D, то отсюда следует, что и углы ∠АСВ и ∠АС1В равны.
Исходя из вышенаписанного можно сделать вывод, что треугольники АВС и А1В1С1 равны по двум сторонам и углу между ними.

Источник

Доказательства равных треугольников: как доказать равенство углов, 3 признака равенства, подобие треугольников

Третий признак равенства треугольников и его доказательство (всех трех возможных случаев) будут подробно рассмотрены в данной статье.

Формулировка третьего признака равенства треугольников

Если три стороны одного треугольника равны соответственно трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство

2 треугольника, АВС и А1В1С1, AB = A1B1, AC = A1C1, BC = B1C1

Требуется доказать, что треугольники АСВ и А1В1С1 равны.

Доказательство

Для начала необходимо «наложить» данные треугольники друг на друга таким образом – чтобы точка А совпала с точкой А1, точка В с точкой В1, а точки С и С1 оказались по разные стороны от прямой А1В1.

Три возможных случая при наложении треугольников

Доказательства равенства треугольников для трех возможных случаев

Первый случай

Луч С1С расположен внутри угла А1С1В1.

Доказательство:

Что и требовалось доказать

Второй случай

Луч С1С накладывается на одну из сторон этого угла.

Доказательство:

Что и требовалось доказать.

Третий случай

Луч С1С расположен вне угла А1С1В1.

Доказательство:

Что и требовалось доказать.

Признаки подобия треугольников

Напомним для начала определение подобных треугольников.

Два треугольника называются подобными, если углы все углы одного треугольника соответственно равны углам другого и треугольника, и все сходственные стороны этих треугольников пропорциональны.

Для определения подобия треугольников существуют три признака подобия треугольников. Рассмотрим и докажем их.

Первый признак подобия треугольников

Теорема 1: Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам второго треугольника, то такие треугольники подобны.

Доказательство.

Теорема 0: Если угол одного треугольника равен углу второго треугольника, то их площади относятся как произведения сторон, прилегающих к этому углу.

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

Второй признак подобия треугольников

Теорема 2: Если две стороны одного треугольника пропорциональны соответствующим сторонам второго треугольника и углы между этими сторонами равны, то данные треугольники подобны.

Доказательство.

Рисунок 2. Иллюстрация теоремы 2

Рисунок 3. Дополнительное построение

По первому признаку подобия треугольника получаем доказательство теоремы.

Третий признак подобия треугольников

Теорема 3: Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем соответствующим сторонам второго треугольника, то такие треугольники подобны.

Доказательство.

Рисунок 4. Дополнительное построение

Пример задачи на использование признаков подобия

[angle B=angle C=frac<180-angle a><2>]
[angle B_1=angle C_1=frac<180-a_1><2>=frac<180-angle a><2>=angle B=angle C]

3 признак равенства треугольников

При этом возможны три случая взаимного расположения луча CC1 и угла ACB.

I. Луч CC1 проходит внутри угла ACB.

II. Луч CC1 проходит внутри угла ACB.

Так как AC=A1C1 и BC=B1C1, треугольники ACC1 и BCC1 — равнобедренные с основанием CC1 и ∠ACC1=∠AC1C и ∠BCC1=∠BC1C (как углы при основании).

Если из равных углов вычесть равные углы, то получим равные углы:

Таким образом, ∠ACB=∠AC1B и ΔABC= ΔA1B1C1 (по 1 признаку равенства треугольников).

III. Луч CC1 совпадает со стороной угла ACB.

math-public:priznaki-ravenstva-treugolnikov [Президентский ФМЛ №239]

Треугольник – это геометрическая фигура, которая состоит из трёх
точек, не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, соединяющих эти
три точки.

Треугольники называются равными, если их можно совместить наложением.

Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого
треугольника, то такие треугольники равны.

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника
соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого
треугольника, то такие треугольники равны.

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем
сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Третий случай доказывается аналогично первому.

math-public/priznaki-ravenstva-treugolnikov.txt · Последние изменения: 2016/05/06 11:15 — labreslav

Как доказать равенство треуголников? Примеры!

Надейка Высший разум (158170) 8 лет назад Первый признак равенства треугольников Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны. Доказательство. Рассмотрим два треугольника ABC и A1B1C1.

Пусть в этих треугольниках равны стороны AB и A1B1, BC и B1C1, а угол ABC равен углу A1B1C1. Тогда треугольник A1B1C1 можно наложить на треугольник ABC так, чтобы угол A1B1C1 совпал с углом ABC. При этом можно расположить треугольник A1B1C1 так, чтобы сторона А1В1 совпала со стороной АВ, а сторона B1С1 — со стороной BС.

Второй признак равенства треугольников Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника равны соответственно стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны. Доказательство. Пусть в треугольниках АВС и А 1 В 1 С 1 имеют место равенства AB= A1B1, ÐBAC = ÐB1A1C1, ÐАВС= ÐА1В1С1. Поступим так же, как и в предыдущем случае.

Наложим треугольник А1В1С1 на треугольник АВС так, чтобы совпали стороны AB и A1B1 и прилегающие к ним углы. Как и в предыдущем случае, при необходимости треугольник А1В1С1 можно «перевернуть обратной стороной». Тогда треугольники совпадут полностью. Значит, они равны.

Третий признак равенства треугольников Если три стороны одного треугольника равны соответственно трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны. Доказательство. Пусть для треугольников ABC и A1B1C1 имеют место равенства АВ = А1В1, ВС = В1С1, СА = С1А1. Перенесем треугольник А1В1С1 так, чтобы сторона А1В1 совпала со стороной АВ, при этом должны совпасть вершины A1 и A, B1 и B.

Рассмотрим две окружности с центрами в A и B и радиусами соответственно AC и BC. Эти окружности пересекаются в двух симметричных относительно AB точках: C и C2. Значит, точка C1 после переноса указанным образом треугольника A1B1C1 должна совпасть либо с точкой C, либо с точкой C2.

В обоих случаях это будет означать равенство треугольников ABC и A1B1C1, поскольку треугольники ABC и ABC2 равны (эти треугольники симметричны относительно прямой AB.)

Источник: http://dcs. isa. ru/www /vladimirv /Geometry /dshar/sco_3.2.1/sco_3_2_1.html

Angelina11 Ученик (196) 2 года назад Геометрия, Признаки равенства треугольниковРис. 1Два треугольника называются равными, если их можно совместить наложением. На рисунке 1 изображены равные треугольники ABC и А1В1С1. Каждый из этих треугольников можно наложить на другой так, что они полностью совместятся, т. е. попарно совместятся их вершины и стороны. Ясно, что при этом совместятся попарно и углы этих треугольников.Таким образом, если два треугольника равны, то элементы (т. е. стороны и углы) одного треугольника соответственно равны элементам другого треугольника. Отметим, что в равных треугольниках против соответственно равных сторон (т. е. совмещающихся при наложении) лежат равные углы, и обратно: против соответственно равных углов лежат равные стороны.Так, например, в равных треугольниках ABC и A1B1C1, изображенных на рисунке 1, против соответственно равных сторон АВ и А1В1 лежат равные углы С и С1. Равенство треугольников ABC и А1В1С1 будем обозначать так: Δ ABC = Δ А1В1С1. Оказывается, что равенство двух треугольников можно установить, сравнивая некоторые их элементы.Признаки равенства треугольников, геометрия ЕГЭ и ГИАРис. 2Теорема 1. Первый признак равенства треугольников. Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны (рис. 2).Доказательство. Рассмотрим треугольники ABC и A1B1C1, у которых АВ = A1B1, АС = A1C1 ∠ А = ∠ А1 (см. рис. 2). Докажем, что Δ ABC = Δ A1B1C1.Так как ∠ А = ∠ А1, то треугольник ABC можно наложить на треугольник А1В1С1 так, что вершина А совместится с вершиной А1, а стороны АВ и АС наложатся соответственно на лучи А1В1 и A1C1. Поскольку АВ = A1B1, АС = А1С1, то сторона АВ совместится со стороной А1В1 а сторона АС — со стороной А1C1; в частности, совместятся точки В и В1, С и C1. Следовательно, совместятся стороны ВС и В1С1. Итак, треугольники ABC и А1В1С1 полностью совместятся, значит, они равны.Аналогично методом наложения доказывается теорема 2.Признаки равенства треугольников, ГИА, ЕГЭРис. 3Теорема 2. Второй признак равенства треугольников. Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны (рис. 34).Замечание. На основе теоремы 2 устанавливается теорема 3.Теорема 3. Сумма любых двух внутренних углов треугольника меньше 180°.Из последней теоремы вытекает теорема 4.Теорема 4. Внешний угол треугольника больше любого внутреннего угла, не смежного с ним.

Читайте также:  Признаки выкидыша в начале беременности

Теорема 5. Третий признак равенства треугольников. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны

Эдуард Голуб Профи (702) 2 года назад Геометрия, Признаки равенства треугольниковРис. 1Два треугольника называются равными, если их можно совместить наложением. На рисунке 1 изображены равные треугольники ABC и А1В1С1. Каждый из этих треугольников можно наложить на другой так, что они полностью совместятся, т. е. попарно совместятся их вершины и стороны. Ясно, что при этом совместятся попарно и углы этих треугольников.Таким образом, если два треугольника равны, то элементы (т. е. стороны и углы) одного треугольника соответственно равны элементам другого треугольника. Отметим, что в равных треугольниках против соответственно равных сторон (т. е. совмещающихся при наложении) лежат равные углы, и обратно: против соответственно равных углов лежат равные стороны.Так, например, в равных треугольниках ABC и A1B1C1, изображенных на рисунке 1, против соответственно равных сторон АВ и А1В1 лежат равные углы С и С1. Равенство треугольников ABC и А1В1С1 будем обозначать так: Δ ABC = Δ А1В1С1. Оказывается, что равенство двух треугольников можно установить, сравнивая некоторые их элементы.Признаки равенства треугольников, геометрия ЕГЭ и ГИАРис. 2Теорема 1. Первый признак равенства треугольников. Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны (рис. 2).Доказательство. Рассмотрим треугольники ABC и A1B1C1, у которых АВ = A1B1, АС = A1C1 ∠ А = ∠ А1 (см. рис. 2). Докажем, что Δ ABC = Δ A1B1C1.Так как ∠ А = ∠ А1, то треугольник ABC можно наложить на треугольник А1В1С1 так, что вершина А совместится с вершиной А1, а стороны АВ и АС наложатся соответственно на лучи А1В1 и A1C1. Поскольку АВ = A1B1, АС = А1С1, то сторона АВ совместится со стороной А1В1 а сторона АС — со стороной А1C1; в частности, совместятся точки В и В1, С и C1. Следовательно, совместятся стороны ВС и В1С1. Итак, треугольники ABC и А1В1С1 полностью совместятся, значит, они равны.Аналогично методом наложения доказывается теорема 2.Признаки равенства треугольников, ГИА, ЕГЭРис. 3Теорема 2. Второй признак равенства треугольников. Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны (рис. 34).Замечание. На основе теоремы 2 устанавливается теорема 3.Теорема 3. Сумма любых двух внутренних углов треугольника меньше 180°.Из последней теоремы вытекает теорема 4.Теорема 4. Внешний угол треугольника больше любого внутреннего угла, не смежного с ним.

Теорема 5. Третий признак равенства треугольников. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны

«Нестандартные признаки равенства треугольников»

МБУ ДО города Ростова-на-Дону «Дворец творчества детей и молодежи»

Донская академия наук юных исследователей им. Ю. А. Жданова

Треугольник одна из основных фигур в планиметрии. Я много слышал от старшеклассников, что при подготовке к ЕГЭ им часто приходится доказывать равенство треугольников. И оказывается недостаточным знание основных признаков.

Я просмотрел учебно-методические комплекты других авторов. Но и в них для изучения предлагаются только три известные теоремы.

Возможно, ли сформулировать, кроме трех известных, другие признаки равенства треугольников?

Чтобы убедиться в том, что ответ на этот вопрос волнует не только меня, я провел социологический опрос среди учащихся 7-11 классов см. приложение 1 ).

Мои предположения подтвердились. Большенство учеников знают только три признака равенства треугольников.

Предмет исследования. Треугольник, как одна из основных фигур в планиметрии.

Кроме того, много других сфер, где применяются различные свойства треугольника: начиная игру в бильярд, необходимо расположить шары в виде треугольника, для этого используют специальное приспособление; расстановка кеглей в игре Боулинг тоже в виде равностороннего треугольника; для составления красивых паркетов используются треугольники; устройство треугольника Паскаля: каждое число равно сумме двух расположенных над ним чисел (обвести треугольником три числа). Все элементарно, но сколько в этом таится чудес! Треугольник Паскаля компьютер перевёл на язык цвета.

Тему треугольника можно продолжать неограниченно.

Каких только треугольников нет на свете!

Существуют также переносные значения данной фигуры: например, правило «золотого треугольника» основано на психологии покупателя – найдя нужный ему товар, покупатель устремляется в кассу. Задача продавцов – заставить его задержаться в магазине подольше, расположив нужный покупателю товар в вершинах воображаемого треугольника, то есть «заякорить» покупателя.

Чем больше площадь треугольника, тем более удачным можно назвать планировку магазина. В продуктовом магазине этими товарами-якорями являются гастрономия, молочная продукция, хлеб.

Задняя торцевая стена торгового зала является вторым местом по значимости и именно там целесообразнее всего располагать товары-якоря – именно для того, что бы заставить покупателя пройти весь периметр магазина.

Широко известный Бермудский треугольник – это район в Атлантическом океане, в котором происходят якобы таинственные исчезновения морских и воздушных судов. Район ограничен линиями от Флориды к Бермудским островам, далее к Пуэрто-Рико и назад к Флориде через Багамы.

В глубокой древности вместе с астрономией появилась наука – тригонометрия. Слово «тригонометрия» произведено от греческих «треугольник» и «меряю». Буквальное значение – «наука об измерении треугольников».

С помощью натянутых веревок длиной 3, 4 и 5 единиц египетские жрецы получали прямые углы при возведении храмов и т.п.

Искусство изображать предметы на плоскости с Древних времён привлекает к себе внимание человека, люди рисовали на скалах, стенах, сосудах и прочих предметах быта, различные орнаменты, растения, животных. Люди стремились к тому, чтобы изображение правильно отображало естественную форму предмета.

Учение о подобии фигур на основе теории отношений и пропорций было создано в Древней Греции в 5-4 веках до нашей эры и существует и развивается до сих пор.

Например, очень много детских игрушек подобным предметам взрослого мира, обувь и одежда одного фасона выпускается различных размеров. Эти примеры можно продолжать и дальше.

В конце концов, все люди подобны друг другу и как утверждает Библия, создал их бог по своему образу и подобию.

Признаки равенства треугольников имели издавна важнейшее значение в геометрии, так как доказательства многочисленных теорем сводилось к доказательству равенства тех или иных треугольников.

Доказательством признаков равенства треугольников занимались еще пифагорейцы.

По словам Прокла, Евдем Родосский приписывает Фалесу Милетскому доказательство о равенстве двух треугольников, имеющих равными сторону и два прилежащих к ней угла (второй признак равенства треугольников).

Эту теорему Фалес использовал для определения расстояния от берега до морских кораблей. Каким способом пользовался при этом Фалес, точно не известно.

Признаки равенства треугольников.

Начнем с определения. Треугольники АВС и А1В1С1 называются равными, если их можно совместить наложением.

Теоретические материалы: Соизмеримые и несоизмеримые отрезки. Отношение отрезков. Пропорциональные отрезки

6.1. Соизмеримые и несоизмеримые отрезки. Отношение отрезков. Пропорциональные отрезки

Общей мерой двух отрезков будет называться такой третий отрезок, который содержится целое число раз в каждом из двух данных отрезков.

Если отрезки имеют общую меру, то они имеют бесконечное множество общих мер. Одна из них больше всех остальных и называется наибольшей общей мерой данных отрезков. Если меньший из двух данных отрезков содержится в большем целое число раз, то меньший отрезок и является наибольшей общей мерой двух данных отрезков.

Два отрезка называются несоизмеримыми, если они не имеют общей меры.

Читайте также:  Головная боль как признак эпилепсии

Поскольку иррациональное число есть бесконечная непериодическая десятичная дробь, то его приближенное значение можно выразить с любой степенью точности с помощью конечной (рациональной) дроби. Так, точная длина есть дм, а приближенная дм или дм и т. д.

Отношением двух отрезков называется отношение их длин, выраженных в одинаковых единицах измерения.

Первый признак равенства треугольников – доказательство: второй и третий признаки, теорема и определение

С далеких времен и по сей день поиск признаков равенства фигур считается базовой задачей, которая является основой основ геометрии; сотни теорем доказываются с использованием признаков равенства. Умение доказывать равенство и подобие фигур — важная задача во всех сферах строительства.

Применение навыка на практике

Предположим, что у нас есть фигура, начерченная на листе бумаги. При этом у нас есть линейка и транспортир, с помощью которых мы можем замерять длины отрезков и углы между ними. Как перенести на второй лист бумаги фигуру таких же размеров или увеличить ее масштаб в два раза.

Мы знаем, что треугольник — это фигура, состоящая из трех отрезков, называемых сторонами, образующими углы. Таким образом, существует шесть параметров — три стороны и три угла, которые определяют эту фигуру.

Однако, замерив величину всех трех сторон и углов, перенести данную фигуру на другую поверхность окажется непростой задачей. Кроме того, есть смысл задать вопрос: а не достаточно ли будет знания параметров двух сторон и одного угла, или всего лишь трех сторон.

Замерив длину двух сторон и угол между ними, затем отложим этот угол на новом листке бумаги, так мы сможем полностью воссоздать треугольник. Давайте разберемся, как это сделать, научимся доказывать признаки, по которым их можно считать одинаковыми, и определимся с тем, какое минимальное число параметров достаточно знать, чтобы получить уверенность в том, что треугольники одинаковы.

Какие существуют признаки равенства треугольников, дадим их определение:

Как доказать, что треугольники равны. Приведем доказательство равенства треугольников.

Доказательство 1 признака

Долгое время среди первых математиков данный признак считался аксиомой, однако, как оказалось, его можно геометрически доказать, опираясь на более базовые аксиомы.

Рассмотрим два треугольника — KMN и K1M1N1. Сторона КМ имеет такую же длину как и K1M1, а KN = K1N1. А угол MKN равен углам KMN и M1K1N1.

Если рассматривать KM и K1M1, KN и K1N1 как два луча, которые выходят из одной точки, то можно сказать, что между этими парами лучей одинаковые углы (это задано условием теоремы). Произведем параллельный перенос лучей K1M1 и K1N1 из точки K1 в точку К. Вследствие этого переноса лучи K1M1 и K1N1 полностью совпадут.

Отложим на луче K1M1 отрезок длиной КМ, берущий свое начало в точке К. Поскольку по условию полученный отрезок и будет равен отрезку K1M1 то точки М и M1 совпадают. Аналогично и с отрезками KN и K1N1.

Таким образом, перенося K1M1N1 так, что точки K1 и К совпадают, а две стороны накладываются, получаем полное совпадение и самих фигур.

Важно! В интернете встречаются доказательства равенства треугольников по двум сторонам и углу при помощи алгебраических и тригонометрических тождеств с численными значениями сторон и углов. Однако исторически и математически данная теорема была сформулирована задолго до алгебры и раньше, чем тригонометрия. Для доказательства этого признака теоремы использовать что-либо, кроме базовых аксиом, некорректно.

Доказательство 2 признака

Докажем второй признак равенства по двум углам и стороне, основываясь на первом.

Доказательство 2 признака

Рассмотрим KMN и PRS. К равен Р, N равен S. Сторона КN имеет такую же длину, как и РS. Необходимо доказать, что KMN и PRS — одинаковы.

Отразим точку М относительно луча КN. Полученную точку назовем L. При этом длина стороны КМ = КL. NKL равен PRS. KNL равен RSP.

Поскольку сумма углов равна 180 градусов, то KLN равен PRS, а значит PRS и KLN- одинаковые (подобные) по обеим сторонам и углу, согласно первому признаку.

Но, так как KNL равен KMN, то KMN и PRS — две одинаковые фигуры.

Это интересно! Чему равна и как найти площадь равностороннего треугольника

Доказательство 3 признака

Как установить, что треугольники равны. Это прямо вытекает из доказательства второго признака.

Длина KN = PS. Поскольку К = Р, N = S, KL=KM, при этом КN = KS, MN=ML, то:

Это означает, что обе фигуры являются подобными друг другу. Но так как их стороны одинаковы, то и они также равны.

Из признаков равенства и подобия вытекает множество следствий. Одно из них заключается в том, что для того, чтобы определить, равны два треугольника или нет, необходимо знать их свойства, одинаковы ли:

Использование признака равенства треугольников для решения задач

Это интересно! Изучаем математику в игровой форме: как ребенку быстро выучить таблицу умножения

Следствия первого признака

В ходе доказательства можно прийти к ряду интересных и полезных следствий.

Докажем эту простую теорему.

Есть два прямоугольных треугольника. У одного стороны a, b, c, где с — гипотенуза; a, b — катеты. У второго стороны n, m, l, где l — гипотенуза; m, n — катеты.

Таким образом, если n = a, l = с (равенство катетов и гипотенуз), соответственно и вторые катеты будут равны. Фигуры, соответственно, будут равны по третьему признаку (по трем сторонам).

Первый признак равенства треугольников. Видеоурок по геометрии 7 класс

Геометрия 7 Первый признак равенства треугольников

Вывод

Рассмотренная нами тема поможет любому ученику лучше разобраться в базовых геометрических понятиях и повысить свои навыки в интереснейшем мире математики.

Признаки подобия треугольников

Признаками подобия двух треугольников являются такие геометрические признаки, которые позволяют установить, что два неких треугольника являются подобными друг другу, без рассмотрения всех элементов.

Теорема 1

Первый признак подобия двух треугольников

Треугольники подобны, если хотя бы два угла в неком треугольнике соответственно равны двум углам в другом треугольнике.

Доказательство

Теорема 2

Второй признак подобия треугольников.

Треугольники считаются подобными, если две из сторон одного треугольника будут соответственно пропорциональными двум сторонам второго треугольника. Также должно соблюдаться условие равенства углов между этими сторонами.

Теорема 3

Третий признак подобия треугольников.

Треугольники считаются подобными, если соблюдается условие пропорциональности трех сторон одного из них трем сторонам второго.

Следствие 1 из теоремы 1. Если рассматривать подобные треугольники, то их сходственные стороны будут пропорциональны высотам, которые будут опущены на сходственные стороны.

Признаки подобия прямоугольных треугольников

Признаки подобия треугольников в примерах

Пример 1

Необходимо найти длину отрезка KP, если известно, что в треугольнике АВС, длина стороны АС равна десяти, и на стороне АВ есть некая точка К, но АК =2, ВК=3. Через точку К проведена прямая, которая параллельна АС. Точка P лежит на ее пересечении со стороной ВС. Это ситуация, когда используются признаки подобия треугольников.

Урок с подобной задачкой обязательно встречается в каждой школе. Итак, если в треугольнике есть прямая, проведенная параллельно одной стороне, то образуется треугольник, который подобен данному. Треугольник КBР подобен треугольнику АBС. Доказывая это, заметим, что угол ВКР равен углу ВАС.

В виду того, что это соответственные углы, которые лежат при параллельных КР и АС и секущей АК. Кроме этого, угол В — общий и, следовательно, третьи углы равны, угол ВРК и ВСА. Таким образом, согласно теореме о первом признаке подобия треугольников, ∠ АВС подобен ∠КВР.

Из этого следует, что КР / АС, стороны лежащие против ∠В, равно ВК / ВА стороны, стороны, которые лежат против равных ∠Р и ∠С. Следовательно, отрезок ВА найдем, складывая BК и АК. Подставляем сюда данные, получаем: КР / 10 = 3 / 5 то есть, КР=6

Пример 2

Пример 3

Необходимо выяснить, подобны ли треугольники А1В1С1 и ABC если см, ВС = 5 см, АВ = 3, АС = 7 см, B1C1 = 7,5 см, А1В1 = 4,5 см, A1C1 = 10,5 см? Решение. ВС/ B1C1=5/7.5= 1/1.5 AB/ А1В1=3/4.5=1/1.5 АС/ A1C1=7/10.5=1/1.5

Значит, по третьему признаку, треугольники являются подобными.

Источник