3 признак подобия треугольников доказательство с рисунком

Признаки подобия треугольников

Признаки подобия треугольников позволяют доказать, что треугольники являются подобными, на основании 2-3 равенств (вместо 6 по определению).

В школьном курсе геометрии, как правило, изучают три признака подобия произвольных треугольников.

( подобие треугольников по двум углам)

Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

( подобие треугольников по двум сторонам и углу между ними)

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, образованные этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

( подобие треугольников по трём сторонам)

Если стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Есть еще 4-й признак подобия треугольников —

( подобие треугольников по двум сторонам и наибольшему углу)

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а наибольший угол одного равен наибольшему углу другого, то такие треугольники подобны.

Доказав, что треугольники подобны, можно использовать свойства подобных треугольников.

Для доказательства подобия прямоугольных треугольников используют другие признаки. Их мы запишем в следующий раз.

Подобие правильных и подобие равнобедренных треугольников рассмотрим позже.

Признаки подобия треугольников широко используются при решении задач как в курсе планиметрии, так и в курсе стереометрии. Например, на основании подобия прямоугольных треугольников доказывается свойство биссектрисы треугольника.

Источник

3 признак подобия треугольников доказательство с рисунком

Письмо с инструкцией по восстановлению пароля
будет отправлено на вашу почту

В этом уроке познакомимся с третьим признаком подобия треугольников и рассмотрим задачу на его применение.

Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого.

Число, равное отношению сходственных сторон подобных треугольников, называют коэффициентом подобия.

Третьим признаком подобия треугольников является следующее утверждение:

Tсли три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого, то такие треугольники подобны.

Учитывая второй признак подобия треугольников, а именно: «Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны», достаточно доказать, что ∠А = ∠А1.

∆АВС2 и ∆А1В1С1 подобны по первому признаку подобия треугольников (так как два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого). Поэтому:

По условию теоремы:

Из последних двух равенств стороны ВС и ВС2; АС и АС2 равны между собой.

Рассмотрим треугольники АВС и АВС2.

Из равенства треугольников АВС и АВС2 следует, что ∠А = ∠1, а так как ∠1 = ∠А1, то ∠А = ∠А1.

Что и требовалось доказать.

В прямоугольном треугольнике АВС катет АВ = 3 см, гипотенуза АС = 5 см.

Катеты МК и КР треугольника МКР равны √27 см и 4√3 см.

Подобны ли эти треугольники?

Найдем в каждом из этих треугольников неизвестные стороны.

Оказалось, что стороны треугольника АВС пропорциональны сторонам треугольника МКР, значит, данные треугольники подобны по третьему признаку подобия.

Источник

Три признака подобия треугольников

Теорема 1. Два треугольника подобны, если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого.

Пусть в треугольниках ABC и А’В’С ∠A = ∠А’ ∠В = ∠B’ (в подобных треугольниках вершины соответственно равных углов часто обозначают одинаковыми буквами).

Доказать, что \(\Delta\)ABС \(\sim\) \(\Delta\)А’В’С (рис. 367).

Прежде всего отметим, что из равенства двух углов данных треугольников следует, что и третьи углы их равны, т. е. ∠C = ∠С’.

Отложим от вершины В, например, на стороне AB треугольника ABC отрезок ВМ, равный отрезку А’В’. Из точки М проведём прямую MN || АС. Мы получили \(\Delta\)MBN, который подобен \(\Delta\)ABC. Но \(\Delta\)MBN = \(\Delta\)А’В’С’, так как ∠В = ∠В’ по условию теоремы; сторона MB = A’B’ по построению; ∠BMN = ∠A’ (∠BMN и ∠А’ порознь равны одному и тому же ∠А).

Если \(\Delta\)MBN \(\sim\) \(\Delta\)AВС, то \(\Delta\)А’В’С’ \(\sim\) \(\Delta\)ABC. Эта теорема выражает 1-й признак подобия треугольников.

Следствия. 1. Равносторонние треугольники подобны.

2. Равнобедренные треугольники подобны, если они имеют по равному углу при вершине или при основании.

3. Два прямоугольных треугольника подобны, если она имеют по равному острому углу.

4. Равнобедренные прямоугольные треугольники подобны.

Пусть в треугольниках ABC и А’В’С’ \(\frac = \frac\) и ∠В = ∠В’

Требуется доказать, что \(\Delta\)ABC \(\sim\) \(\Delta\)А’В’С’ (рис. 368).

Для доказательства отложим, например, на стороне AB треугольника ABC от вершины В отрезок ВМ, равный отрезку А’В’. Через точку М проведём прямую MN || АС. Полученный треугольник MBN подобен треугольнику ABC.

Докажем, что \(\Delta\)MBN = \(\Delta\)А’В’С’. В этих треугольниках ∠В = ∠В’ по условию теоремы, MB = А’В’ по построению. Чтобы убедиться в равенстве сторон BN и В’С, составим пропорцию AB /_MB = BC /_BN (она вытекает из параллельности АС и MN) и сравним её с пропорцией, которая дана в условии теоремы: \(\frac = \frac\). В этих двух пропорциях имеется по три равных члена, следовательно, равны и четвёртые их члены,

т. е. В’С’ = BN. Отсюда следует равенство треугольников MBN и А’В’С’.

Так как \(\Delta\)MBN \(\sim\) \(\Delta\)А’В’С’, то, следовательно, и \(\Delta\)А’В’С’ \(\sim\) \(\Delta\)ABС.

Эта теорема выражает 2-й признак подобия треугольников.

Следствие. Прямоугольные треугольники подобны, если катеты одного из них пропорциональны катетам другого.

Теорема 3. Два треугольника подобны, если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого треугольника.

Пусть в треугольниках ABC и А’В’С’ \(\frac = \frac = \frac\) (рис. 369).

Требуется доказать, что \(\Delta\)ABC \(\sim\) \(\Delta\)А’В’С’

Для доказательства отложим на стороне AB треугольника ABC от вершины В отрезок BM = А’В’. Из точки M проведём прямую MN || АС. Полученный треугольник MBN подобен треугольнику ABC. Следовательно, \(\frac = \frac = \frac\).

Докажем, что \(\Delta\)MBN = \(\Delta\)А’В’С’. Для доказательства сравним две пропорции

\(\frac = \frac\) и \(\frac = \frac\).
В этих пропорциях имеется по три равных члена, следовательно, равны и четвёртые их члены, т.е. BN = В’С’.

Оказалось, что три стороны \(\Delta\)BMN равны трём сторонам \(\Delta\)А’В’С’, а именно:

MB = А’В’, BN = В’С’ и MN = А’С’.

Следовательно, \(\Delta\)MBN = \(\Delta\)А’В’С’, а \(\Delta\)ABC \(\sim\) \(\Delta\)А’В’С’.

Эта теорема выражает 3-й признак подобия треугольников.

Источник

Третий признак подобия треугольников

Описание презентации по отдельным слайдам:

Третий признак подобия
треугольников

Вспомним подобные треугольники:
Определение: треугольники называются подобными, если углы
одного треугольника равны углам другого треугольника
и стороны одного треугольника пропорциональны
сходственным сторонам другого.
А1
В1
С1
А
В
С
А1= А, В1 = В, С1 = С,
А1В1
В1С1
А1С1
АВ
ВС
АС
k.
A1B1C1 ABC,
K – коэффициент подобия

Сходственными сторонами в подобных треугольниках
называются стороны, лежащие против равных углов.

Теорема. Если три стороны одного треугольника
пропорциональны трём сторонам другого треугольника,
то такие треугольники подобны.
A
C
B
M
K
P
Доказать:
АВС МРК.

АВ
МР
АС
МК
ВС
РК
Дано: АВС и МРК,
Доказательство:
Рассмотрим АВ1С, у которого 1 = М, 2 = К (*).
Тогда по двум углам треугольники АВ1С и МРК подобны, значит,
МК
В1С
РК
АВ1
МР
АС
МК
ВС
РК
АВ
МР
АС
, а по условию
Значит, АВ1 = АВ, В1С = ВС, следовательно, по трём сторонам АВ1С = АВС.
Получим: 1 = ВАС, 2 = АСВ,
и, учитывая равенства (*), получим: ВАС = М, АСВ = К.
Следовательно, АВС и МРК подобны по двум углам.
1
В1
2

Реши задачу
2.
А
В
С
М
К
Р
2,5
4
5
20
16
10
Доказать подобие треугольников и выяснить взаимное расположение
прямых ВС и МР.

Реши задачу
5.
A
B
C
E
K
O
Дано: АВС – равносторонний,
Е, К, О – середины сторон.
Найти подобные
треугольники.

Решение задачи
В треугольнике АВС АВ = 4, ВС= 6, АС = 7. Точка Е лежит
на стороне АВ. Внутри треугольника взята точка М так, что
МВ = 5,25; МЕ = 4,5; АЕ = 1. Прямая ВМ пересекает АС в точке Р.
Докажите, что треугольник АРВ – равнобедренный.
Доказательство:
ВЕ = АВ – АЕ = 4 – 1 = 3.
Рассмотрим АВС и ВЕМ. 4; 6; 7 и 3; 4,5; 5,25 – длины их сторон.
АВ
ВЕ
ВС
МЕ
АС
МВ
Найдём их отношение:
4
3
6
4,5
7
5,25
— верно, значит,
Следовательно, треугольники АВС и ВЕМ подобны по трём сторонам, значит,
соответственные углы равны: А = МВЕ, т. е. А = АВР,
Значит, АВР – равнобедренный.
6
А
В
С
Р
Е
М
4
5,25
4,5
1
7
Дано: АВС, АВ = 4, ВС = 6, АС = 7,
АЕ = 1; МВ = 5,25; МЕ = 4,5.

Доказать: АВР – равнобедренный.

Михайлова Л. П.
ГОУ ЦО № 173.
Желаю успехов в учёбе!

Не нашли то что искали?

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Источник

Подобие треугольников: признаки и свойства

Подобие геометрических фигур

Две фигуры называют подобными, если они переводятся друг в друга путем преобразования подобия (расстояния между точками фигур изменяются одно и то же число раз).

Признаки подобия треугольников

Для доказательства признаков подобия нам понадобится следующее утверждение:

Лемма

Прямая, параллельная какой-нибудь стороне треугольника и пересекающая две другие стороны, отсекает от него треугольник, подобный исходному.

Первый признак: подобие по двум углам

Теорема. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.

Докажем данное утверждение.

Дано: \(\triangle ABC, \triangle A_1B_1C_1, \angle A=\angle A_1, \angle B=\angle B_1\)

Доказать: \(\triangle ABC\sim\triangle A_1B_1C_1\)

Второй признак: по двум пропорциональным сторонам и углу между ними

Теорема. Если две стороны одного треугольника соответственно пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы между этими сторонами равны, то такие треугольники подобны.

Третий признак: по трем пропорциональным сторонам

Теорема. Если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого, то такие треугольники подобны.

Примеры задач

Задача 1

Рассмотрим \(\triangle MBN\) и \(\triangle ABC\) :

Следовательно \(\triangle MBN\sim\triangle ABC\)

Можем сделать вывод о пропорциональности соответствующих сторон: \(\frac=\frac=\frac;\)

Задача 2

Прямая, параллельная основанию треугольника, отсекает от него треугольник и трапецию, площади которых относятся как 4:5 соответственно. Периметр маленького треугольника равен 20 см. Найти периметр данного треугольника.

Имеем соотношение: \(\frac>>=\frac45,\) значит \(\frac>>=\frac49\) (т.к. всего треугольник условно делится на \(4+5=9\) частей)

Рассмотрим \(\triangle DBE\) и \(\triangle ABC\) :

Следовательно, \(\triangle DBE\sim\triangle AB\) C по двум углам.

Источник