2 доказательства по геометрии на тему признаки параллелограмма

Параллелограмм: свойства и признаки

Определение параллелограмма

Параллелограмм — это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Как выглядит параллелограмм:

Частные случаи параллелограмма: ромб, прямоугольник, квадрат.

Диагонали — отрезки, которые соединяют противоположные вершины.

Свойства диагоналей параллелограмма:

Биссектриса параллелограмма — это отрезок, который соединяет вершину с точкой на одной из двух противоположных сторон и делит угол при вершине пополам.

Свойства биссектрисы параллелограмма:

Как найти площадь параллелограмма:

Периметр параллелограмма — сумма длины и ширины, умноженная на два.

P = 2 * (a + b), где a — ширина, b — высота.

Приходите решать увлекательные задачки с красочными героями и в интерактивном формате. Запишите вашего ребенка на бесплатный пробный урок математики в онлайн-школу Skysmart: познакомимся, покажем, как все устроено на платформе и наметим вдохновляющую программу обучения.

У нас есть отличные дополнительные занятия по математике! Для учеников с 1 по 11 классы!

Свойства параллелограмма

Геометрическая фигура — это любое множество точек. У каждой фигуры есть свои свойства, которые отличают их между собой и помогают решать задачи по геометрии в 8 классе.

Рассмотрим основные свойства диагоналей и углов параллелограмма, узнаем чему равна сумма углов параллелограмма и другие особенности этой фигуры. Вот они:

А сейчас докажем теорему, которая основана на первых двух свойствах.

Теорема 1. В параллелограмме противоположные стороны и противоположные углы равны.

В любом выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются. Все, что мы знаем о точке их пересечения — это то, что она лежит внутри четырехугольника.

Если мы проведем обе диагонали в параллелограмме, точка пересечения разделит их пополам. Убедимся, так ли это:

Теорема доказана. Наше предположение верно.

Признаки параллелограмма

Признаки параллелограмма помогают распознать эту фигуру среди других четырехугольников. Сформулируем три основных признака.

Первый признак параллелограмма. Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Докажем 1 признак параллелограмма:

Шаг 1. Пусть в четырехугольнике ABCD:

Чтобы назвать этот четырехугольник параллелограммом, нужно внимательно рассмотреть его стороны.

Сейчас мы видим одну пару параллельных сторон. Нужно доказать, что вторая пара сторон тоже параллельна.

Шаг 2. Проведем диагональ. Получились два треугольника ABC и CDA, которые равны по первому признаку равенства, то есть по по двум сторонам и углу между ними:

Шаг 3. Из равенства треугольников также следует:

Читайте также:  Признаки заболевания мочевой системы у кошек

Эти углы тоже являются внутренними накрест лежащими для прямых CB и AD. А это как раз и есть признак параллельности прямых. Значит, CB || AD и ABCD — параллелограмм.

Вот так быстро мы доказали первый признак.

Второй признак параллелограмма. Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Докажем 2 признак параллелограмма:

Шаг 1. Пусть в четырехугольнике ABCD:

Шаг 2. Рассмотрим треугольники ABC и ADC:

Из этого следует, что треугольники ABC и ADC равны по третьему признаку, а именно по трем сторонам.

Шаг 3. Из равенства треугольников следует:

А так как эти углы накрест лежащие при верхней и нижней сторонах и секущей диагонали, значит верхняя и нижняя стороны параллельны.

Эти углы накрест лежащие при боковых сторонах и секущей диагонали. Поэтому боковые стороны четырёхугольника тоже параллельны. Значит четырёхугольник ABCD — параллелограмм, ЧТД.

Доказали второй признак.

Третий признак параллелограмма. Если в четырехугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Докажем 3 признак параллелограмма:

Шаг 1. Если диагонали четырехугольника ABCD делятся пополам точкой O, то треугольник AOB равен треугольнику COD по двум сторонам и углу между ними:

Шаг 2. Из равенства треугольников следует, что CD = AB.

Эти стороны параллельны CD || AB, по равенству накрест лежащиз углов ∠1 = ∠2.

Значит, ABCD является параллелограммом по первому признаку, который мы доказали ранее. Что и требовалось доказать.

Теперь мы знаем свойства параллелограмма и то, что выделяет его среди других четырехугольников — признаки. Так как они совпадают, эти формулировки можно использовать для определения параллелограмма. Но самое распространенное определение все таки связано с параллельностью противоположных сторон.

Чтобы ребенок еще лучше учился в школе, запишите его на уроки математики в детскую школу Skysmart. Наши преподаватели понятно объяснят что угодно — от дробей до синусов — и ответят на вопросы, которые бывает неловко задать перед всем классом. А еще помогут догнать сверстников и справиться со сложной контрольной.

Источник

Параллелограмм. Свойства и признаки параллелограмма

Определение параллелограмма

Параллелограмм – четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

Свойства параллелограмма

1. Противоположные стороны параллелограмма попарно равны

2. Противоположные углы параллелограмма попарно равны

3. Сумма смежных (соседних) углов параллелограмма равна 180 градусов

4. Сумма всех углов равна 360°

5. Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам

6. Точка пересечения диагоналей является центром симметрии параллелограмма

7. Диагонали параллелограмма и стороны
связаны следующим соотношением:

Читайте также:  Инсульт при алкоголизме признаки

8. Биссектриса отсекает от параллелограмма равнобедренный треугольник

Признаки параллелограмма

Четырехугольник является параллелограммом, если выполняется хотя бы одно из следующих условий:

1. Противоположные стороны попарно равны:

2. Противоположные углы попарно равны:

3. Диагонали пересекаются и в точке пересечения делятся пополам

4. Противоположные стороны равны и параллельны:

5.

Небольшой видеоролик о свойствах параллелограмма (в том числе ромба, прямоугольника, квадрата) и о том, как эти свойства применяются в задачах:


Формулы площади параллелограмма смотрите здесь.

Хорошую подборку задач на нахождение углов и длин в параллелограмме смотрите здесь.

Источник

Признаки параллелограмма

Доказательство:

Дано: АВСD — четырехугольник, АD = ВС, АDВС.

Доказать: АВСD — параллелограмм.

Доказательство:

1. Проведем диагональ АС четырехугольника АВСD.

Доказательство:

Доказать: АВСD — параллелограмм.

Доказательство:

1. Проведем диагональ АС четырехугольника АВСD.

3. Итак, АD = ВC, АDВС, по 1 0 признаку параллелограмма, четырехугольник АВСD — параллелограмм. Что и требовалось доказать.

Доказательство:

Доказать: АВСD — параллелограмм.

Доказательство:

1. Рассмотрим АОD и ВОС: по условию АО = ОС, = ОВ, АОD и ВОС (как вертикальные углы), АОD =ВОС (по 1 признаку равенства треугольников), АD = ВC и 1 = 2.

2. 1 и 2 накрест лежащие при пересечении прямых АD и ВC секущей АС, при этом 1 = 2, по признаку параллельности двух прямых АDВС.

3. Итак, АD = ВC, АDВС, по 1 0 признаку параллелограмма, четырехугольник АВСD — параллелограмм. Что и требовалось доказать.

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Источник

Параллелограмм: свойства и признаки

Параллелограмм в геометрии — это геометрическая фигура (прямоугольник), у которой противоположные стороны лежат на параллельных прямых.

Свойства параллелограмма

Признаки параллелограмма

Сформулируем основные ПП и обоснуем их.

Если в четырехугольнике две стороны параллельны и равны, то этот четырехугольник будет считаться параллелограммом.

Доказательство

Рассмотрим четырехугольник MNOP.

MN и OP — параллельные стороны. Кроме того, OP=MN. NP — диагональ, которая делит рассматриваемую фигуру на два одинаковых треугольника: MNP и ONP. Эти треугольники приравниваются по двум сторонам и углу между ними (так как есть общая сторона NP, MN=OP изначально, а ∠1=∠2, потому что это накрест лежащие углы при секущей NP).

Из этого следует, что ∠3=∠4. Они же являются накрест лежащими при пересечении NO и MP секущей NP. Соответственно, NO и MP параллельны друг другу.

Получаем, что в четырехугольнике MNOP противоположные стороны лежат на параллельных прямых. Тогда данная фигура есть параллелограмм.

Если в четырехугольнике попарно равны противоположные стороны, то данный четырехугольник будет считаться параллелограммом.

Доказательство

Доказажем эту теорему. Возьмем четырехугольник KLMN.

Читайте также:  Отличие по гендерному признаку

LN — диагональ. Она делит данную геометрическую фигуру на два идентичных треугольника: KLN и MLN.

Данные фигуры равны между собой по трем сторонам (так как есть общая сторона LN, а KL=MN и LM=KN изначально).

Из этого делаем вывод, что ∠1=∠2.

Из этого следует, что KL параллельна MN.

А так как KL=MN и KL параллельна MN, то по первому признаку параллелограмма KLMN будет считаться параллелограммом.

Если в четырехугольнике пересекаются диагонали и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник будет параллелограммом.

Доказательство

Возьмем четырехугольник MNOP. Проведем MO и NP — две диагонали, пересекающиеся в точке A и делящиеся ей пополам.

ΔMAN и ΔOAP равны по первому признаку равенства (так как MA=AO, NA=AP изначально, ∠MAN=∠OAP, потому что это вертикальные углы).

Следовательно, MN=OP и ∠1=∠2. Из данного выражения получаем, что MN параллельна OP.

Тогда имеем, что в четырехугольнике MNOP стороны MN и OP равны и параллельны. Делаем вывод, что по первому признаку MNOP будет считаться параллелограммом.

Нужно подобрать материалы для студенческой работы?

Источник

Билет 10. 1. Признаки параллелограмма:

1. Признаки параллелограмма:

1) Если в четырёхугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырёхугольник – параллелограмм.

Доказательство. Пусть в четырёхугольнике АВСD стороны АD и СB параллельны и равны. Проведём диагональ АС, делящую параллелограмм на два треугольника: АВС и СDА. Эти треугольники равны по первому признаку, значит, их соответствующие углы равны. Тогда углы BAC и DCA равны как внутренние накрест лежащие при пересечении прямых АB и CD секущей АС, значит, АB||CD. Следовательно, АВСD – параллелограмм.

2) Если в четырёхугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырёхугольник – параллелограмм.

Доказательство. Проведём диагональ АС данного четырёхугольника АВСD, делящую его на треугольники АВС и СDА. Эти треугольники равны по третьему признаку, поэтому углы АCВ и СAD равны, значит АВ||CD. Т.к. АВ и СD равны и параллельны, то по первому признаку АВСD – параллелограмм.

3) Если в четырёхугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся напополам, то этот четырёхугольник – параллелограмм.

.

Аналогично, .

Противоположные стороны попарно равны, значит, ABCD – параллелограмм.

4) В параллелограмме удвоенная сумма квадратов сторон равна сумме квадратов диагоналей:

Воспользуемся теоремой косинусов:

2. Построение треугольника по трём сторонам.

1) Отложить на плоскости отрезок BC=a.

2) Построить окружность с центром в точке B с радиусом c.

3) Построить окружность с центром в точке C

4) Отметить точку A – одно из пересечений окружностей.

Источник