123 признаки равенства треугольников

Признаки равенства треугольников

Два треугольника считаются равными, если их можно совместить наложением. Но, чтобы не выполнять каждый раз наложение, для доказательства равенства треугольников, установили три признака, по которым можно определить, совместятся треугольники или нет. Эти признаки называются признаками равенства треугольников.

Первый признак равенства треугольников

Теорема:

Два треугольника равны, если у них равны две стороны и угол, лежащий между этими сторонами.

Рассмотрим два треугольника ABC и A₁B₁C₁, у которых:

Требуется доказать, что

ABC = A₁B₁C₁.

Если наложить A₁B₁C₁ на ABC так, чтобы точка A₁ совместилась с точкой A и сторона A₁B₁ совместилась со стороной AB, то точка B совместится с точкой B₁, так как A₁B₁ = AB. Сторона A₁C₁ совместится со стороной AC, так как ∠A = ∠A₁. Точка C₁ совпадёт с точкой C, так как A₁C₁ = AC. Стороны B₁C₁ и BC совместятся, так как совместились их концы. Таким образом, треугольники совместятся. Теорема доказана.

Второй признак равенства треугольников

Теорема:

Два треугольника равны, если у них равна одна из сторон и два прилежащих к ней угла.

Рассмотрим два треугольника ABC и A₁B₁C₁, у которых:

Требуется доказать, что

ABC = A₁B₁C₁.

Если наложить A₁B₁C₁ на ABC так, чтобы точка A₁ совместилась с точкой A и сторона A₁C₁ совместилась со стороной AC, то точка C₁ совпадёт с точкой C, так как A₁C₁ = AC. Сторона A₁B₁ совпадёт со стороной AB, так как ∠A = ∠A₁. Сторона C₁B₁ совпадёт со стороной CB, так как ∠C = ∠C₁. Вершина B₁ совпадёт с вершиной B, так как B и B₁ будут служить точками пересечения одних и тех же отрезков. Таким образом, треугольники совместятся. Теорема доказана.

Третий признак равенства треугольников

Теорема:

Два треугольника равны, если три стороны одного треугольника равны трём сторонам другого.

Рассмотрим два треугольника ABC и A₁B₁C₁, у которых:

Требуется доказать, что

ABC = A₁B₁C₁.

Приложим треугольники ABC и A₁B₁C₁ один к другому так, чтобы вершина A совместилась с A₁, вершина C — с C₁, а вершины B и B₁ оказались по разные стороны от прямой AC.

Соединив точки B и B₁, получим два равнобедренных треугольника BAB₁ и BСB₁.

В треугольнике BAB₁ ∠1 = ∠4, в BСB₁ ∠2 = ∠3 (как углы при основании). Следовательно,

Из этого следует, что треугольники ABC и A₁B₁C₁ равны по первому признаку равенства треугольников. Теорема доказана.

Признаки равенства прямоугольных треугольников

Для прямоугольных треугольников, кроме перечисленных трёх признаков равенства, имеются ещё дополнительные признаки, так как у них у всех есть прямой угол, а все прямые углы равны между собой.

Два прямоугольных треугольника будут равны в следующих четырёх случаях:

Источник

Признаки равенства треугольника

Первый признак равенства треугольников

Конечно, равенство треугольников всегда можно доказать наложением одного треугольника на другой. Но, согласитесь, — это несерьезно. Какое может быть наложение, когда есть три теоремы и можно их доказать.

Давайте рассмотрим три признака равенства треугольников.

Теорема 1. Равенство треугольников по двум сторонам и углу между ними.

Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Докажите равенство треугольников △ABC = △A₁B₁C₁.

△A₁B₁C₁ = △ABC, если при наложение вершина A₁ совмещается с вершиной A, и сторона A₁B₁ совмещается со стороной AB, AC — со стороной A₁C₁,
A₁B₁ = AB, вершина B совпадает с вершиной B₁
A₁C₁ = AC, поскольку ∠A = ∠A₁, вершина C совпадает с вершиной C₁.
B₁C₁ = BC,
△ABC = △A₁B₁C₁.

Второй признак равенства треугольников

Теорема 2. Равенство треугольников по стороне и двум прилежащим к ней углам.

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Путем наложения △ABC на △A₁B₁C₁, совмещаем вершину А с вершиной A₁.
Тогда АС совмещается с A₁C₁, вершина C совпадает с C₁, поскольку мы знаем, что АС = A₁C₁.

Третий признак равенства треугольников

Теорема 3. Равенство треугольников по трем сторонам.

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство 3 признака равенства треугольников:

Наложим △ABC на △A₁B₁C₁, таким образом, чтобы вершина A совпала с вершиной A₁, вершина B — с вершиной B₁, вершина C — с вершиной C₁.

Кроме трех основных теорем, запомните еще несколько свойств равенства треугольников.

Равны ли треугольники, можно определить не только по сторонам и углам, но и по высоте, медиане и биссектрисе.

Как видите, доказать равенство треугольников можно по множеству признаков и десятком способом. Три признака равенства треугольников — основные. Все остальные способы также стоит запомнить, ведь треугольник — только с виду простая фигура.

В онлайн-школе Skysmart ваш ребенок научится доказывать любые теоремы и справляться с даже самыми сложными задачками на контрольных. Вас ждут опытные преподаватели, удобная интерактивная платформа и даже онлайн-доска, на которой можно чертить фигуры вместе с учителем.

Записывайтесь на бесплатный вводный урок по математике и начните заниматься в удовольствие уже завтра!

Источник

Инструменты пользователя

Инструменты сайта

Боковая панель

Геометрия:

Контакты

Признаки равенства треугольников

Два треугольника называются равными, если их можно совместить наложением. На рисунке 1 изображены равные треугольники ABC и А₁В₁С₁. Каждый из этих треугольников можно наложить на другой так, что они полностью совместятся, т. е. попарно совместятся их вершины и стороны. Ясно, что при этом совместятся попарно и углы этих треугольников.

Таким образом, если два треугольника равны, то элементы (т. е. стороны и углы) одного треугольника соответственно равны элементам другого треугольника. Отметим, что в равных треугольниках против соответственно равных сторон (т. е. совмещающихся при наложении) лежат равные углы, и обратно: против соответственно равных углов лежат равные стороны.

Так, например, в равных треугольниках ABC и A₁B₁C₁, изображенных на рисунке 1, против соответственно равных сторон АВ и А₁В₁ лежат равные углы С и С₁. Равенство треугольников ABC и А₁В₁С₁ будем обозначать так: Δ ABC = Δ А₁В₁С₁. Оказывается, что равенство двух треугольников можно установить, сравнивая некоторые их элементы.

Теорема 1. Первый признак равенства треугольников. Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны (рис.2).

Доказательство. Рассмотрим треугольники ABC и A₁B₁C₁, у которых АВ = A₁B₁, АС = A₁C₁ ∠ А = ∠ А₁ (см. рис.2). Докажем, что Δ ABC = Δ A₁B₁C₁.

Так как ∠ А = ∠ А₁, то треугольник ABC можно наложить на треугольник А₁В₁С₁ так, что вершина А совместится с вершиной А₁, а стороны АВ и АС наложатся соответственно на лучи А₁В₁ и A₁C₁. Поскольку АВ = A₁B₁, АС = А₁С₁, то сторона АВ совместится со стороной А₁В₁ а сторона АС — со стороной А₁C₁; в частности, совместятся точки В и В₁, С и C₁. Следовательно, совместятся стороны ВС и В₁С₁. Итак, треугольники ABC и А₁В₁С₁ полностью совместятся, значит, они равны.

Аналогично методом наложения доказывается теорема 2.

Теорема 2. Второй признак равенства треугольников. Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны (рис. 34).

Замечание. На основе теоремы 2 устанавливается теорема 3.

Теорема 3. Сумма любых двух внутренних углов треугольника меньше 180°.

Из последней теоремы вытекает теорема 4.

Теорема 4. Внешний угол треугольника больше любого внутреннего угла, не смежного с ним.

Теорема 5. Третий признак равенства треугольников. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны (подробнее).

Пример 1. В треугольниках ABC и DEF (рис. 4)

∠ А = ∠ Е, АВ = 20 см, АС = 18 см, DE = 18 см, EF = 20 см. Сравнить треугольники ABC и DEF. Какой угол в треугольнике DEF равен углу В?

Решение. Данные треугольники равны по первому признаку. Угол F треугольника DEF равен углу В треугольника ABC, так как эти углы лежат против соответственно равных сторон DE и АС.

Пример 2. Отрезки АВ и CD (рис. 5) пересекаются в точке О, которая является серединой каждого из них. Чему равен отрезок BD, если отрезок АС равен 6 м?

Решение. Треугольники АОС и BOD равны (по первому признаку): ∠ АОС = ∠ BOD (вертикальные), АО = ОВ, СО = OD (по условию).
Из равенства этих треугольников следует равенство их сторон, т. е. АС = BD. Но так как по условию АС = 6 м, то и BD = 6 м.

Пример 3. В треугольниках ABC и DEF (см. рис. 4) АВ = EF, ∠A = ∠E, ∠B = ∠F.

Сравнить эти треугольники. Какие стороны в треугольнике DEF равны соответственно сторонам ВС и СА?

Решение. Треугольники ABC и DEF равны по второму признаку. Стороны DF и DE треугольника DEF равны соответственно сторонам ВС и СА треугольника ABC, так как стороны DF и ВС (DE и СА) лежат против равных углов Е и A (F и В).

Пример 4. На рисунке 6 углы DAB и СВА, CAB и DBA равны, СА = 13 м. Найти DB.

Решение. Треугольники АСВ и ADB имеют одну общую сторону АВ и по два равных угла, которые прилежат к этой стороне. Следовательно, треугольники АСВ и ADB равны (по второму признаку). Из равенства этих треугольников следует равенство сторон BD и АС, т. е. BD = 13 м.

Источник

Типы треугольников. Признаки равенства треугольников

Типы треугольников

Рассмотрим три точки, не лежащие на одной прямой, и три отрезка, соединяющие эти точки (рис. 1).

Треугольником называют часть плоскости, ограниченную этими отрезками, отрезки называют сторонами треугольника, а концы отрезков (три точки, не лежащие на одной прямой) – вершинами треугольника.

В таблице 1 перечислены все возможные типы треугольников в зависимости от величины их углов.

Таблица 1 – Типы треугольников в зависимости от величины углов

Рисунок	Тип треугольника	Определение
	Остроугольный треугольник	Треугольник, у которого все углы острые, называют остроугольным
	Прямоугольный треугольник	Треугольник, у которого один из углов прямой, называют прямоугольным
	Тупоугольный треугольник	Треугольник, у которого один из углов тупой, называют тупоугольным

Треугольник, у которого все углы острые, называют остроугольным

Прямоугольный треугольник

Треугольник, у которого один из углов прямой, называют прямоугольным

Тупоугольный треугольник

Треугольник, у которого один из углов тупой, называют тупоугольным

В зависимости от длин сторон выделяют два важных типа треугольников.

Таблица 2 – Равнобедренный и равносторонний треугольники

Равносторонний (правильный) треугольник

Треугольник, у которого все три стороны равны, называют равносторонним или правильным треугольником

Признаки равенства треугольников

Таблица 3 – Признаки равенства треугольников

Рисунок	Название признака	Формулировка признака
	Признак равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними	Если две стороны одного треугольника и угол между ними соответственно равны двум сторонам другого треугольника и углу между ними, то такие треугольники равны
	Признак равенства треугольников по стороне и двум прилежащим к ней углам	Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны
	Признак равенства треугольников по трём сторонам	Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны

Формулировка признака.
Если две стороны одного треугольника и угол между ними соответственно равны двум сторонам другого треугольника и углу между ними, то такие треугольники равны Признак равенства треугольников по стороне и двум прилежащим к ней углам

Формулировка признака.
Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны Признак равенства треугольников по трём сторонам

Формулировка признака.
Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны

Признаки равенства прямоугольных треугольников

Для сторон прямоугольных треугольников принято использовать следующие названия.

Таблица 4 – Признаки равенства прямоугольных треугольников

Источник

Признаки равенства треугольников. 7-й класс

Разделы: Математика

Класс: 7

Используемые технологии: комбинированный урок с использованием ИКТ.

Цели: обобщение и закрепление знаний, умений и навыков по теме «Треугольники».

Задачи:

Ход урока

I. Организационный момент. Объявление темы, целей и задач урока

II. Актуализация знаний и умений

Определить равные треугольники по рисункам, изображенным на экране, и объяснить, почему данные треугольники равны?

Какие из треугольников равнобедренные? Перечислите свойства равнобедренных треугольников.

III. Закрепление знаний, умений, навыков

1) Решение задач (устно).

Укажите равные элементы (стороны, углы) на рисунках, изображенных на доске. Решите задачи.

Задача 1. ∆АВС равнобедренный, АС – основание. AD и CF – биссектрисы. Доказать, что ADC = CFA.

Задача 2. ∆АВС и ∆АОС – равнобедренные, АС – основание. Доказать, что ∆ВАО = ∆ВСО.

Задача 3. В ∆АВС : АК ВС, САК = ВАК. Доказать, что АС = АВ.

2) Письменное решение задачи из учебника №169.

5) Четвертый признак равенства треугольников.

Мы знаем три признака равенства треугольников, но не ставили вопрос о существовании четвертого признака равенства треугольников, например, по двум сторонам и углу, не лежащему между ними. Домашнее задание по этой теме получила Алексеева Ольга.

(Учащаяся рассказывает о проделанной работе, при этом рассказ сопровождается презентацией.)

Допустим, существует четвертый признак равенства треугольников, устанавливающий равенство треугольников по двум сторонам и углу, не лежащему между ними.

Рассмотрим доказательство способом «прикладывания».

Совместим вершину В с вершиной В₁, вершину С с вершиной С₁, а вершины А и А₁ пусть окажутся по разные стороны от прямой ВС.

Рассмотрим доказательство для первого случая.

∆ АВА₁ – равнобедренный, значит углы при основании равны.

ВАА₁ = ВА₁А, САА₁ = А – ВАА₁, СА₁А = А₁ – ВА₁А.

Но т.к. А = А₁ и ВАА₁ = ВА₁А, то САА₁= СА₁А. Это значит, что ∆АСА₁ – равнобедренный, т.е. АС = А₁С.

∆АВС = ∆А₁ВС по третьему признаку равенства треугольников.

Но, если рассмотреть следующий слайд, то он наглядно демонстрирует, что четвертого признака равенства треугольников не существует.

6) Проблемная ситуация. Представьте ситуацию: вы находитесь в доме, вам необходимо дойти до реки, зачерпнуть воды и сходить полить саженцы. При этом вы, конечно, хотите, чтобы расстояние, которое преодолеете, было наименьшим. Попробуйте представить различные варианты этой ситуации и изобразите самый короткий путь движения.
Демонстрация презентации.

Рассматриваются две ситуаци: 1) дом и саженцы на одном берегу реки и 2) дом и саженцы находятся по разные стороны реки.

IV. Подведение итогов урока

V. Домашнее задание

VI. Литература

1. Атанасян Л.С. и др. Геометрия: Учеб. для 7-9 классов средней школы.М.: Просвещение, 2016.

2. Мищенко Т.М. Тестовые задания по геометрии для 7-9 классов/ Математика в школе 2000, №8, с. 20–23.

3. Ткачева М.В. Домашняя математика: Книга для учащихся 7 класса средней школы. М.: Просвещение, 1993, с 125–126, 140.

Источник