1 признак равенства четырехугольников

Геометрия. Урок 4. Четырехугольники

Смотрите бесплатные видео-уроки на канале Ёжику Понятно.

Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!

Содержание страницы:

Определение четырехугольника

Четырехугольником называется фигура, которая состоит из четырех точек (вершин) и четырех отрезков (сторон), которые последовательно соединяют вершины. При этом никакие три из данных точек не должны лежать на одной прямой, а соединяющие их отрезки не должны пересекаться.

Выпуклые четырехугольники

В задачах ОГЭ встречаются выпуклые четырехугольники, поэтому подробно изучим их.

Диагонали выпуклого четырехугольника пересекаются в одной точке.

Площадь произвольного выпуклого четырехугольника можно найти по формуле:

S = 1 2 d 1 d 2 ⋅ sin φ

где d 1 и d 2 – диагонали четырехугольника, φ – угол между диагоналями (острый или тупой – не важно).

Рассмотрим более подробно некоторые виды выпуклых четырехугольников.

Класс параллелограммов : параллелограмм, ромб, прямоугольник, квадрат.

Класс трапеций : произвольная трапеция, прямоугольная трапеция, равнобокая (равнобедренная) трапеция.

Параллелограмм

Параллелограмм – четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны.

Свойства параллелограмма:

Площадь параллелограмма можно найти по трём формулам.

Как произведение стороны и высоты, проведенной к ней.

Поскольку стороны имеют разные длины, то высоты, которые к ним проведены, тоже будут иметь разные длины.

Как произведение двух смежных (соседних) сторон на синус угла между ними.

Как полупроизведение диагоналей на синус угла между ними.

Ромб – параллелограмм, у которого все стороны равны.

Свойства ромба:

Площадь ромба можно найти по трём формулам.

Как произведение стороны ромба на высоту ромба.

Как квадрат стороны ромба на синус угла между двумя сторонами.

Как полупроизведение диагоналей ромба.

Прямоугольник

Свойства прямоугольника:

Площадь прямоугольника можно найти по двум формулам:

Как произведение двух смежных (соседних) сторон прямоугольника.

Как полупроизведение диагоналей (так как они обе равны, обозначим их буквой d ) на синус угла между ними.

Квадрат

Квадрат – прямоугольник, у которого все стороны равны.

Свойства квадрата:

Площадь квадрата можно вычислить по двум формулам:

Как квадрат стороны.

Как полупроизведение квадратов диагоналей (диагонали в квадрате равны).

Трапеция

Трапеция – это четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие нет.

Свойства трапеции:

Средняя линия трапеции – отрезок, соединяющий середины боковых сторон.

Средняя линия параллельна основаниям. Её длина находится по формуле: m = a + b 2

Площадь трапеции можно найти по двум формулам:

Как полусумму оснований на высоту. Поскольку полусумма оснований есть средняя линия трапеции, можно найти площадь трапеции как произведение средней линии на высоту.

Как полупроизведение диагоналей на синус угла между ними.

Виды трапеций

Прямоугольная трапеция – трапеция, у которой два угла прямые.

Равнобокая (равнобедренная) трапеция – трапеция, у которой боковые стороны равны.

Свойство равнобокой трапеции: углы при основании равны

Примеры решений заданий из ОГЭ

Модуль геометрия: задания, связанные с четырехугольниками

Источник

Признаки равенства четырехугольников

При изучении признаков равенства треугольников в курсе геометрии 7 класса возникли вопросы: Существуют ли признаки равенства четырёхугольников? Если да, то по скольким элементам? Можно ли их сформулировать и доказать, опираясь на признаки равенства треугольников?

Цель: Сформулировать и доказать признаки равенства четырёхугольников.

Задачи: 1) Изучить литературу по данной теме.

2) Исследовать все различные комбинации наборов сторон и углов из четырёх элементов и, либо доказать признак, либо опро- вергнуть его, приведя контрпример.

3) Исследовать все случаи различных комбинаций из 5 элементов, сформулировать и доказать признак, либо опровергнуть.

Две геометрические фигуры называются равными, если их можно совместить наложением.

Два четырехугольника называются равными, если их можно совместить наложением.

Существуют признаки равенства четырехугольников по четырем элементам.

2)ПО ТРЁМ УГЛАМ И СТОРОНЕ а)

3)ПО ДВУМ УГЛАМ И ДВУМ СТОРОНАМ а)

4) ПО УГЛУ И ТРЁМ СТОРОНАМ а) BC=BC1

5)ПО ЧЕТЫРЁМ СТОРОНАМ

ПРИЗНАКОВ РАВЕНСТВА ЧЕТЫРЁХУГОЛЬНИКОВ ПО ЧЕТЫРЁМ

ЭЛЕМЕНТАМ НЕ СУЩЕСТВУЕТ.

Существуют признаки равенства четырёхугольников по пяти элементам.

Если четыре стороны и угол одного четырёхугольника соответственно равны четырём сторонам и углу другого четырёхугольника, то такие четырёхугольники равны.

ABCD И A[]B[]C[]D[]- четырёхугольники. AB=A[]B[], BC= B[]C[], CD=C[]D[],

Если три стороны и два угла между ними одного четырёхугольника соответственно равны трём сторонам и двум углам между ними другого четырёхугольника, то такие четырёхугольники равны.

Т. к. соответственные стороны и углы четырёхугольников равны, то они совместятся наложением, а значит- по определению равных

Если три стороны и два угла, не лежащие между ними, одного четырёхугольника соответственно равны трём сторонам и двум углам, не лежащим между ними, другого четырёхугольника, то такие четырёхугольники равны.

Случай, где углы четырёхугольника тупые доказывается аналогично, достаточно перейти к смежным, соответственно равным углам.

Если два противолежащих угла и три стороны одного четырёхугольника соответственно равны двум противолежащим углам и трём сторонам другого четырёхугольника, то такие четырёхугольники равны.

Если три угла и две стороны между ними одного четырёхугольника соответственно равны трём углам и двум сторонам между ними другого четырёхугольника, то такие четырёхугольники равны.

Если три угла и две смежные стороны, одна из которых лежит между данными углами, одного четырёхугольника, соответственно равны трём углам и двум смежным сторонам, одна из которых лежит между двумя данными углами другого четырёхугольника, то такие четырёхугольники равны.

По стороне и четырём углам

1) Эмпирические (изучение литературы, сбор сведений, сбор и обработка статистического материала)

2) Теоретические (сравнение и обобщение данных, составление таблиц)

3) Практические (построения с помощью циркуля и линейки, доказательства).

1) Изучение и исследование материала по теме.

2) Изучение проблемы.

3) Обработка материала и выработка практических рекомендаций.

1) Рассмотрев все различные наборы из четырёх элементов (сторон и углов) четырёхугольника, получили 12 случаев, к каждому из них с помощью циркуля и линейки привели контрпример, построив 2 неравных четырёхугольника по данным элементам.

2) Рассмотрев все различные наборы из 5 элементов четырёхугольника, получили 10 случаев, 7 из которых стали признаками равенства четырёхугольников, а к 3 случаям привели контрпример, построив неравные между собой четырёхугольники.

При изучении данной темы было установлено: существуют признаки равенства четырёхугольников по 5 элементам.

1. По 4 сторонам и углу: если четыре стороны и угол одного четырёхугольника соответственно равны четырем сторонам и углу другого четырёхугольника, то такие четырёхугольники равны.

2. По 3 сторонам и 2 углам между ними: если три стороны и два угла между ними одного четырёхугольника соответственно равны трем сторонам и двум углам между ними другого четырёхугольника, то такие четырёхугольники равны.

3. По 3 сторонам и 2 углам, не лежащим между ними: если три стороны и два угла, не лежащие между ними, одного четырёхугольника соответственно равны трем сторонам и двум углам, не лежащим между ними, другого четырёхугольника, то такие четырёхугольники равны.

4. По 2 противолежащим углам и 3 сторонам: если два противолежащих угла и три стороны одного четырёхугольника соответственно равны двум противолежащим углам и трем сторонам другого четырёхугольника, то такие четырёхугольники равны.

5. По 3 углам и 2 сторонам между ними: если три угла и две стороны между ними одного четырёхугольника соответственно равны трем углам и двум сторонам между ними другого четырёхугольника, то такие четырёхугольники равны.

6. По 3 углам и 2 смежным сторонам, не лежащим между ними: если три угла и две смежные стороны, не лежащие между ними, одного четырёхугольника соответственно равны трем углам и двум смежным сторонам, не лежащим между ними, другого четырёхугольника, то такие четырёхугольники равны.

7. По 3 углам и 2 смежным сторонам, одна из которых лежит между данными углами: если три угла и две смежные стороны, одна из которых лежит между данными углами, одного четырёхугольника соответственно равны трем углам и двум смежным сторонам, одна из которых лежит между данными углами другого четырёхугольника, то такие четырёхугольники равны.

Была проделана работа по доказательству признаков равенства четырёхугольников. Для доказательства были использованы признаки равенства треугольников, определение равных фигур, геометрические построения с помощью циркуля и линейки.

В результате работы сформулировали и доказали 7 признаков по пяти элементам. Эти признаки могут быть полезны для тех, кто начинает изучать геометрию, учится сам формулировать и доказывать теоремы, а также в практической деятельности человека, например, при нахождении площадей.

Источник

Параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат (ЕГЭ – 2021)

Клод Бернард однажды сказал:

«Думать, что всё знаешь, останавливает тебя от того, чтобы учиться новому»

Давай узнаем что-то новое сегодня, разбирая, казалось бы, такую простую тему!

Статья поможет тебе окончательно разобраться с самыми «популярными» четырехугольниками 🙂 И на ЕГЭ ты сможешь решить любую задачу!

ШПОРА. СВОЙСТВА ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКОВ

Параллелограмм – четырехугольник, противоположные стороны которого попарно параллельны.

Свойства параллелограмма:

Прямоугольник – четырехугольник, все углы которого прямые:

\( \displaystyle \angle A=\angle B=\angle C=\angle D=90<>^\circ \).

Свойства прямоугольника:

Ромб – четырехугольник, все стороны которого равны между собой:

Свойства ромба:

Квадрат – четырехугольник, у которого все стороны равны между собой, а все углы – прямые:

\( \displaystyle \angle A=\angle B=\angle C=\angle D=90<>^\circ \).

Свойства квадрата:

Квадрат – ромб и прямоугольник одновременно, следовательно для квадрата выполняются все свойства прямоугольника и ромба. А также:

\( \displaystyle ABCD\) – ромб

НАЧАЛЬНЫЙ УРОВЕНЬ

Параллелограмм

Сложное слово «параллелограмм»? А скрывается за ним очень простая фигура.

Параллелограмм – это четырехугольник, противоположные стороны которого попарно параллельны

Ну, то есть, взяли две параллельные прямые:

Пересекли ещё двумя:

И вот внутри – параллелограмм!

Какие же есть свойства у параллелограмма?

Свойства параллелограмма

То есть, чем можно пользоваться, если в задаче дан параллелограмм?

На этот вопрос отвечает следующая теорема.

В любом параллелограмме:

Давай нарисуем все подробно.

Что означает первый пункт теоремы? А то, что если у тебя ЕСТЬ параллелограмм, то непременно

\( \displaystyle AB=CD\) и \( \displaystyle AD=BC\).

Второй пункт означает, что если ЕСТЬ параллелограмм, то, опять же, непременно:

\( \displaystyle \angle A=\angle C\) и \( \displaystyle \angle B=\angle D\).

Ну, и наконец, третий пункт означает, что если у тебя ЕСТЬ параллелограмм, то обязательно:

\( \displaystyle AO=OC\) и \( \displaystyle BO=OD\).

Видишь, какое богатство выбора? Что же использовать в задаче? Попробуй ориентироваться на вопрос задачи, или просто пробуй все по очереди – какой-нибудь «ключик» да подойдёт.

А теперь зададимся другим вопросом: а как узнать параллелограмм «в лицо»? Что такое должно случиться с четырехугольником, чтобы мы имели право выдать ему «звание» параллелограмма?

На этот вопрос отвечает несколько признаков параллелограмма.

Признаки параллелограмма

Признак 1. Если у четырехугольника две стороны равны и параллельны, то это – параллелограмм.

\( \displaystyle AB=CD\); \( \displaystyle AB\parallel CD\) \( \displaystyle \Rightarrow \) \( \displaystyle ABCD\) – параллелограмм.

Признак 2. Если у четырехугольника противоположные стороны равны, то это – параллелограмм.

\( \displaystyle AB=CD\); \( \displaystyle AD=BC\) \( \displaystyle \Rightarrow \) \( \displaystyle ABCD\) – параллелограмм.

Признак 3. Если у четырехугольника противоположные углы равны, то это – параллелограмм.

\( \displaystyle AB=CD\); \( \displaystyle AD=BC\) \( \displaystyle \Rightarrow \) \( \displaystyle ABCD\) – параллелограмм.

Признак 4. Если у четырехугольника диагонали делятся точкой пересечения пополам, то это – параллелограмм.

\( \displaystyle AO=OC\); \( \displaystyle BO=OD\) \( \displaystyle \Rightarrow \) \( \displaystyle ABCD\) – параллелограмм.

Обрати внимание: если ты нашёл хотя бы один признак в своей задаче, то у тебя точно параллелограмм, и ты можешь пользоваться всеми свойствами параллелограмма.

Для полной ясности посмотри на схему:

Автор этого учебника, Алексей Шевчук, проводит бесплатные вебинары по самым сложным задачам ЕГЭ по математике и информатике.

Регистрируйся здесь и приходи!

Прямоугольник

Думаю, что для тебя вовсе не явится новостью то, что

Прямоугольник – четырехугольник, все углы которого прямые.

Первый вопрос: а является ли прямоугольник параллелограммом?

А отсюда, конечно же, следует, что у прямоугольника, как и у всякого параллелограмма \( \displaystyle AB=CD\) и \( \displaystyle BC=AD\), а диагонали точкой пересечения делятся пополам.

Но есть у прямоугольника и одно отличительное свойство.

Свойство прямоугольника

Диагонали прямоугольника равны:

Почему это свойство отличительное? Потому что ни у какого другого параллелограмма не бывает равных диагоналей. Сформулируем более чётко.

Если у параллелограмма равны диагонали, то это – прямоугольник.

Обрати внимание: чтобы стать прямоугольником, четырехугольнику нужно сперва стать параллелограммом, а потом уже предъявлять равенство диагоналей.

Ромб – четырехугольник, все стороны которого равны между собой.

И снова вопрос: ромб – это параллелограмм или нет?

С полным правом – параллелограмм, потому что у него \( \displaystyle AB=CD\) и \( \displaystyle BC=AD\) (вспоминаем наш признак 2).

И снова, раз ромб – параллелограмм, то он обязан обладать всеми свойствами параллелограмма. Это означает, что у ромба противоположные углы равны, противоположные стороны параллельны, а диагонали делятся точкой пересечения пополам.

Но есть и особенные свойства. Формулируем.

Свойства ромба

Свойство 1. Диагонали ромба перпендикулярны.

\( \displaystyle AC\bot BD\) (если ты забыл, напомню: \( \bot \) – значок перпендикулярности)

Свойство 2. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.

Посмотри на картинку:

Как и в случае с прямоугольником, свойства эти – отличительные, то есть по каждому из этих свойств можно заключить, что перед нами не просто параллелограмм, а именно ромб.

Признаки ромба

Признак 1. Если в параллелограмме диагонали перпендикулярны, то это ромб.

И снова обрати внимание: должен быть не просто четырехугольник, у которого перпендикулярны диагонали, а именно параллелограмм. Убедись:

Разве это ромб?

Нет, конечно, хотя его диагонали и перпендикулярны, а диагональ \( \displaystyle AC\) – биссектриса углов \( \displaystyle A\) и \( \displaystyle C\). Но … диагонали не делятся, точкой пересечения пополам, поэтому \( \displaystyle ABCD\) – НЕ параллелограмм, а значит, и НЕ ромб.

Квадрат

Квадрат – четырехугольник, у которого все стороны равны между собой, а все углы – прямые.

То есть квадрат – это прямоугольник и ромб одновременно. Давай посмотрим, что из этого получится.

У квадрата угол между диагональю и стороной равен \( \displaystyle 45<>^\circ \).

Понятно почему? Квадрат – ромб \( \displaystyle \Rightarrow AC\) – биссектриса угла A, который равен \( \displaystyle 90<>^\circ \). Значит \( \displaystyle AC\) делит \( \displaystyle \angle A\) (да и \( \displaystyle \angle C\) тоже) на два угла по \( \displaystyle 45<>^\circ \).

Диагонали квадрата равны, перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам.

Ну, это совсем ясно: прямоугольник \( \displaystyle \Rightarrow \)диагонали равны; ромб \( \displaystyle \Rightarrow \)диагонали перпендикулярны, и вообще – параллелограмм \( \displaystyle \Rightarrow \)диагонали делятся точкой пересечения пополам.

Если сторона квадрата равна \( \displaystyle a\), то его диагональ равна \( \displaystyle a\sqrt<2>\).

Почему? Ну, просто применим теорему Пифагора к \( \displaystyle \Delta ADC\).

Значит, \( \displaystyle AC=\sqrt<2>\cdot a\).

Его автор, Алексей Шевчук, ведет курсы подготовки к ЕГЭ по математике и информатике.

Приходи, научишься решать задачи любой сложности с самого нуля. Шаг за шагом.

До 3990 руб / месяц, 3 раза в неделю по 2 часа.

СРЕДНИЙ УРОВЕНЬ

Свойства четырехугольников. Параллелограмм

Параллелограмм – это четырехугольник, противоположные стороны которого попарно параллельны.

Свойства паралеллограмма

Внимание! Слова «свойства параллелограмма» означают, что если у тебя в задаче есть параллелограмм, то всем нижеследующим можно пользоваться.

Теорема о свойствах параллелограмма

В любом параллелограмме:

1. Противоположные стороны равны

2. Противоположные углы равны

3. Диагонали делятся пополам точкой пересечения

Давай-ка поймём, почему это всё верно, иными словами ДОКАЖЕМ теорему.

Давай проведём диагональ \( \displaystyle AC\). Что получится?

Два треугольника: \( \displaystyle ABC\) и \( \displaystyle ADC\).

Раз \( \displaystyle ABCD\) – параллелограмм, то:

\angle 1=\angle 2\) как накрест лежащие;

\angle 3=\angle 4\) как накрест лежащие.

Значит, \( \displaystyle \Delta ABC=\Delta ADC\) (по II признаку: \( \displaystyle \angle 1=\angle 2,

Ну вот, а раз \( \displaystyle \Delta ABC=\Delta ADC\), то \( \displaystyle AB=CD\) и \( \displaystyle AD=BC\) – всё! – доказали.

Но кстати! Мы ещё доказали при этом и 2)!

Почему? Но ведь \( \displaystyle \angle 1+\angle 3=\angle 2+\angle 4\) (смотри на картинку), то есть \( \displaystyle \angle A=\angle C\), а \( \displaystyle \angle B=\angle D\) именно потому, что \( \displaystyle \Delta ABC=\Delta ADC\).

Для этого всё-таки придётся провести вторую диагональ.

Мы уже выяснили, что \( \displaystyle AB=CD\). Давай снова отметим равные накрест лежащие углы (посмотри и убедись, что все верно).

И теперь видим, что \( \displaystyle \Delta AOB=\Delta COD\) – по II признаку (\( \displaystyle 2\) угла и сторона «между» ними).

Значит, \( \displaystyle BO=OD\) (напротив углов \( \displaystyle \angle 2\) и \( \displaystyle \angle 1\)) и \( \displaystyle AO=OC\) (напротив углов \( \displaystyle \angle 3\) и \( \displaystyle \angle 4\) соответственно).

Признаки параллелограмма

Напомним, что признак параллелограмма отвечает на вопрос «как узнать?», что фигура является параллелограммом.

Признак 1. Если у четырехугольника две стороны равны и параллельны, то это параллелограмм.

\( \displaystyle AB=CD\);\( \displaystyle AB\parallel CD\) \( \displaystyle \Rightarrow \) \( \displaystyle ABCD\) – параллелограмм.

Почему? Хорошо бы понять, почему \( \displaystyle AD\parallel BC\) – этого хватит. Но смотри:

\( \displaystyle \Delta ABC=\Delta ADC\) по 1 признаку:

\( \displaystyle AB=CD\), \( \displaystyle AC\)- общая и \( \displaystyle \angle 1=\angle 2\) как накрест лежащие при параллельных

\( \displaystyle AB\) и \( \displaystyle CD\) и секущей \( \displaystyle AC\).

А раз \( \displaystyle \Delta ABC=\Delta ADC\),

то \( \displaystyle \angle 3= \angle 4\) (лежат напротив \( \displaystyle AB\) и \( \displaystyle CD\) соответственно).

Ну вот и разобрались, почему признак 1 верен.

Признак 2. Если у четырехугольника противоположные стороны равны, то это – параллелограмм.

\( \displaystyle AB=CD\), \( \displaystyle AD=BC\) \( \displaystyle \Rightarrow\) \( \displaystyle ABCD\) – параллелограмм.

Снова проведём диагональ \( \displaystyle AC\).

Теперь \( \displaystyle \Delta ABC=\Delta ACD\) просто по трём сторонам.

\( \displaystyle \angle 1=\angle 2\) \( \displaystyle \Rightarrow AD\parallel BC\) и \( \displaystyle \angle 3=\angle 4\) \( \displaystyle \Rightarrow AB\parallel CD\), то есть \( \displaystyle ABCD\) – параллелограмм.

Признак 3. Если у четырёхугольника противоположные углы равны, то это – параллелограмм.

\( \displaystyle \angle A=\angle C\), \( \displaystyle \angle B=\angle D\) \( \displaystyle \Rightarrow \) \( \displaystyle ABCD\) – параллелограмм.

И тоже несложно. Но… по-другому!

\( \displaystyle 2\alpha +2\beta =360<>^\circ \) (ведь \( \displaystyle ABCD\) – четырехугольник, а \( \displaystyle \angle A=\angle C\), \( \displaystyle \angle B=\angle D\) по условию).

Значит, \( \displaystyle \alpha +\beta =180<>^\circ \). Ух! Но \( \displaystyle \alpha \) и \( \displaystyle \beta \) – внутренние односторонние при секущей \( \displaystyle AB\)!

Поэтому тот факт, что \( \displaystyle \alpha +\beta =180<>^\circ \) означает, что \( \displaystyle AD\parallel BC\).

А если посмотришь с другой стороны, то \( \displaystyle \alpha \) и \( \displaystyle \beta \) – внутренние односторонние при секущей \( \displaystyle AD\)! И поэтому \( \displaystyle AB\parallel CD\).

Видишь, как здорово?!

Признак 4. Если у четырехугольника диагонали делятся точкой пересечения пополам, то это – параллелограмм.

\( \displaystyle AO=OC\); \( \displaystyle BO=OD\) \( \displaystyle \Rightarrow \) \( \displaystyle ABCD\) – параллелограмм.

\( \displaystyle BO=OD;AO=OC\), \( \displaystyle \angle 1=\angle 2\) как вертикальные \( \displaystyle \Rightarrow \Delta AOB=\Delta COD\), \( \displaystyle \Rightarrow \angle 3=\angle 4\), и \( \displaystyle \Rightarrow AB||CD\).

Точно так же \( \displaystyle BO=OD; AO=OC\), \( \displaystyle \angle 5=\angle 6\)\( \displaystyle \Rightarrow \Delta AOD=\Delta BOC \Rightarrow \)\( \displaystyle \angle 7=\angle 8\), и \( \displaystyle \Rightarrow AD\parallel BC\).

Обрати внимание: если ты нашел хотя бы один признак параллелограмма в своей задаче, то у тебя точно параллелограмм, и ты можешь пользоваться всеми свойствами параллелограмма.

Для полной ясности посмотри на схему:

Свойства четырехугольников. Прямоугольник

Прямоугольник – четырехугольник, все углы которого прямые.

Свойства прямоугольника

Зарегистрируйся один раз и ты откроешь все 100 статей учебника

А также получишь доступ к видеоурокам и другим бесплатным материалам курса «Подготовка к ЕГЭ с репетитором»

* Если не понравятся бесплатные материалы, ты сможешь отписаться в любой момент

Пункт о параллелограмме совсем очевидный – ведь просто выполнен признак 3 (\( \displaystyle \angle A=\angle C\) \( \displaystyle \angle B=\angle D\))

А пункт о диагоналях – очень важный. Итак, докажем, что.

Диагонали прямоугольника равны.

Раз прямоугольник – это параллелограмм, то \( \displaystyle AB=CD\).

Ну вот, раз треугольники \( \displaystyle ABC\) и \( \displaystyle DCA\) равны, то у них и гипотенузы \( \displaystyle BD\) и \( \displaystyle AC\) тоже равны.

Доказали, что \( \displaystyle AC=BD\)!

Признаки прямоугольника

И представь себе, равенство диагоналей – отличительное свойство именно прямоугольника среди всех параллелограммов. То есть верно такое утверждение:

Если у параллелограмма равны диагонали, то это прямоугольник.

Давай поймём, почему?

\( \displaystyle ABCD\) – параллелограмм \( \displaystyle \Rightarrow AB=CD\)

\( \displaystyle AC=BD\) – по условию.

\( \displaystyle \Rightarrow \Delta ABD=\Delta DCA\) – теперь уже по трём сторонам.

Значит, \( \displaystyle \angle A=\angle D\) (имеются в виду углы параллелограмма). Но ещё раз вспомним, что \( \displaystyle ABCD\) – параллелограмм, и поэтому \( \displaystyle \angle A=\angle C,\text< >\angle B=\angle D\).

Значит, \( \displaystyle \angle A=\angle B=\angle C=\angle D\). Ну и, конечно, из этого следует, что каждый из них по \( \displaystyle 90<>^\circ \)! Ведь в сумме-то они должны давать \( \displaystyle 360<>^\circ \)!

Вот и доказали, что если у параллелограмма вдруг (!) окажутся равные диагонали, то это точно прямоугольник.

Но! Обрати внимание! Речь идёт о параллелограммах! Не любой четырехугольник с равными диагоналями – прямоугольник, а только параллелограмм!

Свойства четырехугольников. Ромб

Ромб – четырехугольник, все стороны которого равны между собой.

И снова вопрос: ромб – это параллелограмм или нет?

С полным правом – параллелограмм, потому что у него \( \displaystyle AB=CD\) и \( \displaystyle BC=AD\) (Вспоминаем наш признак 2).

И снова, раз ромб – параллелограмм, то он обязан обладать всеми свойствами параллелограмма. Это означает, что у ромба противоположные углы равны, противоположные стороны параллельны, а диагонали делятся точкой пересечения пополам.

Но есть и особенные свойства. Формулируем.

Свойства ромба

Свойство 1. Диагонали ромба перпендикулярны.

Почему? Ну, раз ромб – это параллелограмм, то его диагонали делятся пополам.

И значит, \( \displaystyle \angle BOC=\angle COD\), но они смежные!

\( \displaystyle \Rightarrow \angle BOC=90<>^\circ \) и \( \displaystyle \angle COD=90<>^\circ \).

Свойство 2. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.

Почему? Да потому же!

Из-за того, что диагонали делятся точкой пересечения пополам, а все стороны ромба равны, весь ромб оказался разделён диагоналями на четыре равных треугольника:

\( \displaystyle \Delta BOC,\text< >\Delta BOA,\ \Delta AOD,\text< >\Delta COD\).

\( \displaystyle \angle 1=\angle 2;\text< >\angle 5=\angle 6;\)

\( \displaystyle \angle 3=\angle 4;\text< >\angle 7=\angle 8;\)

Иными словами, диагонали \( \displaystyle BD\) и \( \displaystyle AC\) оказались биссектрисами углов ромба.

Как в случае с прямоугольником, свойства эти – отличительные, каждые из них является ещё и признаком ромба.

Признаки ромба

Признак 1. Если в параллелограмме диагонали перпендикулярны то это – ромб.

\( \displaystyle ABCD\) – параллелограмм \( \displaystyle \Rightarrow AO=CO;BO=OD\).

Но ещё дано, что \( \displaystyle AC\bot BD\) \( \displaystyle \Rightarrow\) \( \displaystyle \Delta AOB=\Delta BOC=\Delta COD=\Delta AOD\) – по двум катетам.

И значит, \( \displaystyle AB=BC=CD=AD\) – и всё!

Признак 2. Если в параллелограмме хотя бы одна из диагоналей делит пополам оба угла, через которые она проходит, то этот параллелограмм – ромб.

А это почему? А посмотри:

\( \displaystyle \angle A=\angle C\), так как \( \displaystyle ABCD\) – параллелограмм.

Но ещё дано, что \( \displaystyle AC\) – биссектриса углов \( \displaystyle A\) и \( \displaystyle C\).

Значит, \( \displaystyle \Delta ABC=\Delta ADC\) и оба этих треугольника – равнобедренные.

Значит, \( \displaystyle AB=BC=CD=DA\), то есть \( \displaystyle ABCD\) – ромб.

И снова обрати внимание! Не всякий четырёхугольник с перпендикулярными диагоналями – ромб.

Вот пример:

Это вовсе не ромб, хоть его диагонали и перпендикулярны.

Чтобы быть ромбом, четырёхугольник сперва должен «стать» параллелограммом, а потом уже демонстрировать признак 1 или признак 2.

Свойства четырехугольников. Квадрат

Признаки и свойства квадрата

Квадрат – четырехугольник, у которого все стороны равны между собой, а все углы – прямые.

То есть квадрат – это прямоугольник и ромб одновременно. Давай посмотрим, что из этого получится.

У квадрата угол между диагональю и стороной равен \( \displaystyle 45<>^\circ \).

Понятно, почему? Квадрат – ромб \( \displaystyle \Rightarrow \) \( \displaystyle AC\) – биссектриса угла \( \displaystyle A\), который равен \( \displaystyle 90<>^\circ \). Значит \( \displaystyle AC\) делит \( \displaystyle \angle A\) (да и \( \displaystyle \angle C\) тоже) на два угла по \( \displaystyle 45<>^\circ \).

Диагонали квадрата равны, перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам.

Ну, это совсем ясно: прямоугольник \( \displaystyle \Rightarrow \) диагонали равны; ромб \( \displaystyle \Rightarrow \) диагонали перпендикулярны, и вообще – параллелограмм \( \displaystyle \Rightarrow \) диагонали делятся точкой пересечения пополам.

Если сторона квадрата равна \( \displaystyle a\), то его диагональ равна \( \displaystyle a\sqrt<2>\).

Почему? Ну, просто применим теорему Пифагора к \( \displaystyle \Delta ADC\).

Значит, \( \displaystyle AC=\sqrt<2>\cdot a\)

Источник